Probabilidad

TRABAJO COLABORATIVO 2

DESARROLLO

1.- Se seleccionan al azar dos calcetines y de manera sucesiva, se sacan de un cajón que contiene siete calcetines cafés y cuatro verdes, Defina la variable aleatoria:

X representa el número de calcetines cafés que se selecciona.

a.- Encuentre la función de probabilidad f(x)

Para encontrar la función de probabilidad debemos hallar las probabilidades para los casos en que al sacar cero, uno o dos calcetines estos sean cafés.

Primero hallamos la cantidad de posibilidades de sacar 2 calcetines entre 11 que hay en el cajón.

(11¦2)=55

Al combinar, encontramos que son 55 posibilidades.

Ahora buscamos las probabilidades mencionadas,

Sacar 0 calcetines (7¦0)(4¦2)/((11¦2) )=(1)(6)/55=6/55

Sacar 1 calcetín (7¦1)(4¦1)/((11¦2) )=(7)(4)/55=28/55

Sacar 2 calcetines (7¦2)(4¦0)/((11¦2) )=(21)(1)/55=21/55

xi f(xi)

0 6/55

1 28/55

2 21/55

Total 1

b.- Encuentre el valor esperado E(x), la varianza V(x) y la desviación estándar S(x)

Para hallar el valor esperado utilizamos la formula E(x)=∑x_i.f(x_i)〗 , mientras que la varianzaV(x)=∑〖〖x_i〗^2.f(x_i )-〖E(x)〗^2 〗.

Nos apoyamos con la siguiente tabla:

xi f(xi) xi.f(xi) xi2 xi2.f(xi)

0 6/55 0,000 0 0,000

1 28/55 0,509 1 0,509

2 21/55 0,764 4 1,527

Total 1 1,273 5,000 2,036

Observando la tabla encontramos que:

E(x)=1,273

V(x)=2,036-(1,273)^2=0,4165

S(x)=√0,4165=0,6454

2.- Suponga que los editores de una revista desean aumentar sus suscriptores. Para ello envían un número aleatorio de cartas invitando a las personas a suscribirse. De las personas que la reciben un gran número ni siquiera la leen o la botan, pero otros la leen y responden. Si la proporción de personas que responden a la invitación (0 = %, 1 = 100%) es una variable aleatoria continua X, cuya función de densidad es:

F(X)= 2 ( x + 2) 0 _ X _ 1

5

a.- Verifique que en efecto f(x) es una función de densidad de probabilidad

Para poder ver si cumple, debemos ver que el área bajo la curva sea de 1.

Para esto utilizamos la integral,

∫_0^1〖f(x)dx=〗 ∫_0^1〖2(x+2)/5 dx=〗

=2/5 ∫_0^1〖(x+2)dx=〗 2/5 (x^2/2+2x)|1¦0┤

=2/5 (1^2/2+2(1) )-2/5 (0^2/2+2(0) )

=2/5 (1/2+2)=2/5 (5/2)=1

Efectivamente la función si es de densidad de probabilidad.

b.- Calcule la probabilidad de que entre 30% y 60% de personas que reciben la carta, la respondan.

En este caso debemos realizar la misma integral pero esta ves con limites de 0.3 a 0.6, esto es,

∫_0.3^0.6〖f(x)dx=〗

=2/5 (x^2/2+2x)|0.6¦0.3┤

=2/5 (〖0.6〗^2/2+2(0.6) )-2/5 (〖0.3〗^2/2+2(0.3) )

=2/5 (0,36/2+1,2)-2/5 (0.09/2+0,6)

=0.552-0,258=0,294

La probabilidad es de 29,4%.

3.- Al probar cierta clase de neumático para camión en un terreno accidentado, se encuentra que el25% de los camiones finalizan la prueba con daños en los neumáticos. De los siguientes 15camiones probados, encuentre la probabilidad de que:

a.- De 3 a 6 tengan daños en los neumáticos

En este caso encontramos una distribución binomial, con los siguientes valores

p=0,25 q=0,75 n=15 x=3,4,5 y 6

Recordamos la distribución binomial, con q=1-p

Luego,

La probabilidad de que 3 tengan daños es

f(3)=(15¦3) (0,25)^3 〖(0,75)〗^12=455(0,01562)(0,0316)=0,2251

La probabilidad de que 4 tengan daños es

f(4)=(15¦4) (0,25)^4 (0,75)^11=1365(0.0039)(0.0422)=0.2248

La probabilidad de que 5 tengan daños es

f(5)=(15¦5) (0,25)^5 〖(0,75)〗^10=3003(0.000976)(0.0563)=0.165

La probabilidad de que 6 tengan daños es

f(6)=(15¦6) (0,25)^6 〖(0,75)〗^9=5005(0.00024)(0.075)=0.09

b.- menos de 4 tengan daños en los neumáticos

En este caso tenemos,

p=0,25 q=0,75 n=15 x< 4

Esto es,

P(x< 4)=P(x=0)+P(x=1)+P(x=2)+P(x=3)

f(0)=(15¦0) (0,25)^0 (0,75)^15=1(1)(0.0133)=0.0133

f(1)=(15¦1) (0,25)^1 〖(0,75)〗^14=15(0.25)(0.01781)=0.06681

f(2)=(15¦2) (0,25)^2 〖(0,75)〗^13=105(0.0625)(0.02375)=0.1559

f(3)=(15¦3) (0,25)^3 〖(0,75)〗^12=0.2251

Entonces,

P(x< 4)=0.0133+0.06681+0.1559+0.2251

P(x< 4)=0.46111

La probabilidad es del 46,11%

c.- mas de 6 tengan daños en los neumáticos

Ahora,

...