Probabilidades
Enviado por iml75 • 1 de Septiembre de 2013 • 7.283 Palabras (30 Páginas) • 247 Visitas
Ejercicios Resueltos de Estadística:
Tema 3: Cálculo de Probabilidades
1. Se lanzan 20 monedas en las que la probabilidad de cara es de 0,6. Calcular cual es el
número mas probable de caras y qué probabilidad hay de que salga dicho número.
SOLUCIÓN:
El número de caras obtenido al lanzar 20 monedas es una variable aleatoria con distribución
binomial de parámetros B(20;0,6). El número mas probable de caras es
20 ⋅ 0,6 − 0,4 ≤ m ≤ 20 ⋅ 0,6 + 0,6⇒11,6 ≤ m ≤ 12,6 . Luego el número mas probable de
caras es 12, y la probabilidad de 12 caras es:
0,0022 0,0007 0,0202
12!8!
0,6 0,4 20!
12
( 12) 20 12 8 ⋅ ⋅ =
⋅
= ⋅ ⋅
P X = =
2. Sabiendo que P(AIB) = 0,6)y que la de la P(AIB =0,2), se pide calcular la
probabilidad de A.
SOLUCIÓN:
P(A)= P[(AIB)U(AIB )]= P(AIB) + P(AIB )=0,6+0,2=0,8
3. Supongamos que las cotizaciones de las acciones de Telefónica y Sniace son variables
aleatorias independientes, y que la probabilidad de que un día cualquiera suban es del
70% para ambas. ¿Cuál es la probabilidad de que un día suba sólo una de ellas?
SOLUCIÓN:
Sea p1 la probabilidad de que suba Telefónica y p2 la de que suba Sniace. La probabilidad de
que solo suba una de ellas será:
p1 (1 - p2) + (1 – p1) p2 = 0,7 0,3 + 0,3 0,7 = 0,21 + 0,21 = 0,42
4. Sean 2 sucesos A y B de los que se sabe que la probabilidad de B es el doble que la de A;
que la probabilidad de su unión es doble que la de su intersección; y que la probabilidad
de su intersección es de 0,1. Se pide: 1) Calcular la probabilidad de A. 2) ¿Qué suceso es
más probable que ocurra sabiendo que ya ha ocurrido el otro?.
SOLUCIÓN:
1) Sea P(A) = x; entonces: P(B)= 2X. Además P[AUB] = 0,2 y P[AIB] = 0,1
P[AUB] = P(A)+P(B)- P (AIB))=x+2x-0,1=3x-0,1
P[AUB] = 3x – 0,1=0,2. despejando x=1
Por tanto P(A) = 0,1 y P(B) = 0,2.
2) Las probabilidades condicionadas serían:
P(A/B)= 0,5;
0,2
0,1
( )
( )
= =
P B
P AIB P(B/A)= 1
0,1
0,1
( )
( )
= =
P A
P AIB
Por tanto es más probable que ocurra B sabiendo que ha ocurrido A, que, que ocurra A sabiendo
que ha ocurrido B.
5. La probabilidad de cara de dos monedas son 0,4 y 0,7. Calcular la probabilidad de que
al lanzar las dos monedas salga sólo una cara. Repetir el ejercicio considerando que las
monedas están bien construidas.
SOLUCIÓN:
Para que salga solo una cara ha de ocurrir una de las dos cosas siguientes: que la primera
moneda saque cara y la segunda cruz o viceversa:
P[(C I X ) U (XIC)] = 0,4⋅ 0,3 + 0,6 ⋅ 0,7 = 0,12 + 0,42 = 0,54
Si las monedas están bien construidas las probabilidades de cara y cruz son iguales a 0,5; por
tanto: P[(C I X ) U (XIC)] = 0,5⋅ 0,5 + 0,5⋅ 0,5 = 0,5
6. Dos maquinas A y B han producido respectivamente, 100 y 200 piezas. Se sabe que A
produce un 5% de piezas defectuosas y B un 6%. Se toma una pieza y se pide:
1) Probabilidad de que sea defectuosa.
2) Sabiendo que es defectuosa, probabilidad de que proceda de la primera máquina.
SOLUCIÓN:
Indiquemos por: MA = {la pieza procede de la maquina A}
MB = {la pieza procede de la maquina B}
Entonces Ω = {300 piezas} = MA + MB
3
Ρ(Μ ) = 1 Α
3
Ρ(Μ ) = 2 Β
1) Sea D = {la pieza defectuosa}
0,0567
3
(0,06) 2
3
Ρ( ) = ( / ) ⋅ ( ) + ( / ) ⋅ ( ) = (0,05) ⋅ 1 + ⋅ = A A B B D P D M P M P D M P M
2) Es la probabilidad de MA condicionada a la presencia de D
0,2941
0,0567
3
(0,05) 1
( / ) ( ) ( / ) ( )
( / ) ( )
( / ) =
⋅
=
⋅ + ⋅
⋅
...