Proyecto Matematicas

PROBLEMA DEL TRABAJO COLABORATIVO

La población (en miles) de una colonia de bacterias, t minutos después de la introducción de una toxina, está dada por la función

T2 + 7 si t ˂ 5

P (t) =

-8t + 72 si t ≥ 5

a) Cuando morirá la colonia?

b) Explicar porque la población debe ser 10.000 en algún momento entre t=1 y t=7

c) Es la función P continua en t = 5? Justificar completamente.

DESARROLLO PUNTO A

a) La colonia morirá cuando la función P(t) sea igual a cero, debemos tener en cuenta que el valor de t es mayor o igual a cero ya que no puede existir tiempos negativos hallamos los valores para entre 0 y 12

t P(t) en miles Operación

0 7

1 8

2 11

3 16

4 23

5 32

5 32

6 24

7 16

8 8

9 0

10 -8

11 -16

12 -24

De esta forma demostraremos que la colonia morirá exactamente a los 9 minutos después de haber aplicado la toxina. También nos dimos cuenta que después del valor 9 la función empieza a tomar valores para t negativos.

DESARROLLO DEL PUNTO B

Para determinar en qué valor de (t) la población es de 10.000 tendremos que valorar cada una de las funciones para cuando cada una de estas sea igual a 10.000 así que:

Para t˂5 y la función

Como aquí se pueden incluir tiempos negativos, la población de la colonia será de 10.000 en el momento en que

Ahora tomaremos la función para

La población será de 10000 cuando el tiempo

DESARROLLO DEL PUNTO C

Es la función P continua en t=5

1 - Ubicamos el punto t = 5 en una recta de donde observamos los dominios de cada función. En intervalo abierto todos los valores que toma la función t2 + 7, cuando t ˂ 5 y en intervalo cerrado todos los valores que toma la función -8t + 72 cuando t ≥ 5.

−∞_͢___t2+7______________)5[________-8t+72__ +∞

Verificar si el Limt→5 P (t) Existe

Para ello calcularemos los limites laterales cuando se aproxima al punto T=5 por la izquierda y por la derecha, de esta forma.

−∞_͢___t2+7_→_____________)5[_____←___-8t+72__ +∞

Limt→5_ t2 + 7 = 52 + 7 = 32 , Limt→5+ -8t + 72 = -8(5) + 72 = 32

Como los límites laterales son iguales en este caso, iguales a 32 decimos entonces que:

Lim

t→5 P (t) = 32

2 – Hallaremos la imagen del valor 5 bajo la función (P), para calcular debemos evaluar en la función donde el 5 se pueda evaluar, me refiero a que este’ contenido en el dominio de la función. Nótese que cuando T˂ 5 el 5 no está incluido en el dominio por lo tanto no podemos calcularlo en esta función t2 + 7.

Analizando para T ≥ 5, el 5 si hace parte del dominio de la función -8t + 72 así que:

P (5) = -8t + 72 = -8(5) +72 = 32

3 - Limt→5 P (t) = 32 =P (5)

CONCLUSION:

Como se cumplen las tres condiciones de la definición decimos entonces que la función P definida por: T2 + 7 si t ˂ 5

P (t) =

...