Punto de vista sintético

iciador de la geometría proyectiva, pues fundamentó matemáticamente los métodos de la perspectiva que habían desarrollado los artistas del Renacimiento, y aunque su trabajo fue publicado en 1639, pasó desapercibido durante dos siglos (excepto dos teoremas), ensombrecido por la influyente obra de Descartes.

En el siglo XIX, la geometría proyectiva y la geometría hiperbólica, se establecieron dentro de las matemáticas, pero lo que acabó de enraizarlas, posiblemente, fue hallar un modelo analítico. Dentro del contexto de la geometría euclidiana-cartesiana se puede construir la geometría proyectiva y, si se acepta la primera, hay que admitir la segunda.

Este proceso finalizó definitivamente a principios del siglo XX, pues Einstein, apoyándose en los exhaustivos desarrollos geométricos de los matemáticos del siglo XIX, consiguió demostrar que, a gran escala, el universo se puede interpretar mejor con estas nuevas geometrías que con el rígido espacio euclidiano.

Punto de vista sintético[editar]

Desde el punto de vista sintético, la geometría proyectiva es una geometría que parte de los siguientes principios:

Dos puntos definen una recta.

Todo par de rectas se cortan en un punto (cuando dos rectas son paralelas decimos que se cortan en un punto del infinito conocido como punto impropio).

El quinto postulado de Euclides, de las paralelas, está implícito en estos dos principios ya que, dada una recta y un punto exterior, existirá una única paralela (el punto dado y el del infinito definen la paralela por el primer axioma. Nótese que en la geometría proyectiva, dos rectas paralelas por definición comparten un punto y esto no excluye que sean isomorfas con las paralelas euclídeas).

Como los axiomas de los que se parte son simétricos, si en cualquier teorema proyectivo se intercambian las palabras recta y punto se obtiene otro teorema igualmente válido. A estos teoremas se les llama duales.

El principio antes expuesto se conoce como Principio de Dualidad y fue enunciado por Poncelet en el siglo XIX. Muchos teoremas anteriores, como los de Pascal y Brianchon, son duales, aunque ningún matemático lo había notado hasta entonces.

Los teoremas de Pascal y Brianchon, aunque completamente válidos, se demostraron inicialmente en geometría euclidiana, basándose en los teoremas de Pappus y Menelao, que utilizan una métrica y por tanto no son válidos en geometrías de incidencia, como la proyectiva.

En principio se intentó buscar demostraciones alternativas de estos teoremas sin usar congruencia de segmentos. Hilbert demostró en 1899 que tal cosa es imposible y desde entonces suele incluirse el teorema del hexágono de Pappus como un axioma de la geometría proyectiva. Ello permite demostrar en proyectiva todo lo demostrable en euclídea sin tener que recurrir a una métrica.

Por no usar métricas en sus enunciados, se dice que la geometría proyectiva es una Geometría de incidencia.

Finalmente, hay que destacar que desde el punto de vista sintético, un espacio proyectivo consiste en un espacio afín al que hemos añadido un conjunto de puntos infinitos, de modo que cada par de rectas paralelas se cortan en uno de estos puntos.1 2 3

Aplicaciones[editar]

Cuando hacemos isomorfas nuestras paralelas euclídeas con las rectas proyectivas que se cortan “en el infinito”, podemos extrapolar todo lo que demostremos en proyectiva a geometría euclidiana. La geometría proyectiva, más flexible que la euclidiana, se convierte con esto en una herramienta útil para enunciar muchos teoremas clásicos más sencillamente, e incluso simplificar las demostraciones, aunque no permite demostrar nada que no pueda demostrarse en euclidiana.

La geometría proyectiva puede entenderse, informalmente, como la geometría que se obtiene cuando nos colocamos en un punto, mirando desde ese punto. Esto es, cualquier línea que incide en nuestro "ojo" nos parece ser sólo un punto, en el Plano proyectivo, ya que el ojo no puede "ver" los puntos que hay detrás.

De esta forma, la geometría proyectiva también equivale a la proyección sobre un plano de un subconjunto del espacio en la geometría euclidiana tridimensional. Las rectas que salen del ojo del observador se proyectan sobre puntos. Los planos definidos por cada par de ellas se proyectan

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