Relaciones Y Estructuras

REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA

MINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA EDUCACIÓN UNIVERSITARIA

UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL “SIMÓN BOIVAR”

NÚCLEO MATURÍN

PROFESOR:

Cesar Osorio.

BACHILLER:

López De F; Agustín

C. I: 20630955

Sección “A”

OCTUBRE, 2012.

INTRODUCCIÓN

El siguiente trabajo abordará temas relacionados con las Relaciones y Estructuras sobre el producto cartesiano, sus relaciones y propiedades, las relaciones de equivalencia, conjunto cociente, la relación de orden, correspondencia y sus ejemplos así como también las clases de aplicaciones inyectivas, biyectivas y exhaustivas. Además indagaré sobre la operación interna y sus propiedades asociativa, conmutativa, distributiva y el elemento simétrico, las estructuras algebraicas, el grupo, anillo y cuerpo, la estructura de los conjuntos habituales de los números.

• PRODUCTO CARTESIANO.

El producto cartesiano de dos conjuntos y es el conjunto de todos los posibles pares ordenados que se forman eligiendo como primera componente a un elemento que pertenezca a , y como segunda componente a un elemento que pertenezca a .

El producto cartesiano se denota de la siguiente forma: x y se lee “ cruz ”.

La definición anterior expresa que el producto cartesiano de los conjuntos y , son la parejas ordenadas tal que pertenece al conjunto y pertenece al conjunto .

Ejemplo

Obtener el producto cartesiano x de los siguientes conjuntos:

Solución

El número de parejas ordenadas que resultan de un producto cartesiano se obtiene multiplicando sus cardinalidades. En el ejemplo anterior, , el número de parejas ordenadas es: . .

El producto cartesiano no es conmutativo. Esto significa que a menos que = .

• RELACIONES

Dados dos conjuntos no vacíos y una relación (binaria) entre elementos de y de (o simplemente una relación entre y ) es una terna en que es cualquier subconjunto de .

Si es una relación, usaremos la notación , que se lee `` está relacionado por con ", o simplemente `` está relacionado con ", para indicar el hecho de que . Si diremos que `` no está relacionado por con " y usaremos la notación . Además, el conjunto se dirá conjunto de partida, y conjunto de llegada (o recorrido) de .

Ejemplos:

1. ,donde

2. , donde

3. , donde .

Sea una relación. Definimos su dominio por , y su imagen por .

El conjunto suele llamarse gráfico de la relación y se anota . Es directo que , pero en general no es cierta la igualdad como conjuntos.

Toda función induce a una relación.

Si es una función, la relación asociada es , donde el conjunto de pares ordenados está dado por

Claramente se cumple que , e

Igualdad de relaciones: De la definición de relación como una terna, es directo que dos relaciones y son iguales sí . A su vez, es también claro que si , entonces De aquí que se cumple:

Dos relaciones son iguales si

1. y tienen el mismo conjunto de partida ,

2. y tienen el mismo conjunto de llegada , y

3. Los elementos se relacionan por y de la misma forma, es decir,

• PROPIEDADES

Sea A un conjunto no vacío. Llamaremos a una relación de A en sí mismo, una relación binaria en , o simplemente una relación en , y abreviaremos su notación como . En este caso aparecen 4 propiedades claves a ser estudiadas:

1. Reflexividad: Decimos que es refleja (o reflexiva) ssi .

2. Simetría: Decimos que es simétrica ssi .

3. Antisimétrica:

Decimos que es antisimétrica si .

4. Transitividad:

Decimos que es transitiva sí .

La simetría y la antisimetría no se dan usualmente juntas, sin embargo NO son una la negación de la otra. En efecto existen relaciones que satisfacen ambas propiedades, por ejemplo, la relación de igualdad en . Aquí , donde es la llamada ``diagonal" de .

Ejemplo importante:

Estudiemos las 4 propiedades anteriores para la relación en tal que

donde es un natural fijo. Esta relación se llama de congruencia módulo y si decimos que `` es congruente con módulo ", o que `` es igual a módulo ". Son usuales las notaciones (mod ) o .

• Simétrica: Sean tales que . Hay que probar que . Sabemos que . Sea tal que . Despejando se tiene que , Es decir hemos encontrado un entero tal que lo que prueba que .

• Refleja: Sea . Debemos probar que . Es decir hay que encontrar tal que . Basta tomar , con lo cual y se concluye que .

• Transitiva: Sean tales que . Hay que probar que . Se tiene para un cierto , y para un cierto . Luego, despejando, se obtiene . Hemos encontrado un entero tal que , luego .

• Antisimétrica: No lo es si pues, por ejemplo si , se tiene que y además pero . Si , la relación es la igualdad en , por lo que no es sorprendente que sea también antisimétrica.

 RELACIONES DE EQUIVALENCIA

Sea A un conjunto no vacío y R una relación en A. R es una relación de equivalencia en A, si R es reflexiva, simétrica y transitiva en A.

Ejemplo 1: IA es una relación de equivalencia en A (A ¹ 0).

Ejemplo 2: La relación de paralelismo definida entre la rectas del plano euclídeo, es una relación de equivalencia, pero no lo es la relación de perpendicularidad.

Ejemplo 3: Sean a y b enteros y n un número fijo positivo. En Z (conjunto de los enteros) se define una relación de la siguiente manera:

Se dice que a es congruente con b módulo n y se escribe, a º b (mod n) sí y sólo sí nï (a - b), es decir, a - b = kn con k Î Z .

En tal caso, el par (a,b) pertenece a la relación. Esta relación se llama congruencia módulo n.

Rn = {(x, y) / x º y mod n, x, y Î Z }.

Esto nos indica que una relación que produce sobre el conjunto en el cual se define una clasificación con las características anteriores, se llama relación de equivalencia.

Dado llamamos clase de equivalencia de relativa a al conjunto

(todos los elementos de que están relacionados con ).

Ejemplo: Considere la relación de congruencia módulo 2 en ( ). En esta relación es el conjunto de los pares, es el conjunto de los enteros impares, son los impares, .

En este ejemplo existen sólo 2 clases de equivalencia distintas: y . Observemos que

. Además .

Propiedades:

1. Para cada .

2. Para cada par de elementos , si , entonces .

3. Para cada par de elementos , si , entonces .

Las dos propiedades anteriores permiten definir una partición de .

Esto es, una familia de subconjuntos de , dos a dos disjuntos, cuya unión es . De manera más precisa, existe un conjunto de subconjuntos no vacíos de , (que será la partición de ), tal que si entonces (dos a dos disjuntos) y

Esta última unión se entiende como sigue

La partición que nos interesa construir es la formada por las clases de equivalencia de , es decir,

Este conjunto se llama conjunto cociente de , y se suele anotar también como .

 CONJUNTO COCIENTE

El conjunto formado por todas las clases de equivalencia de elementos de A es el conjunto cociente de A por la relación de equivalencia . Lo notamos por A/

El conjunto cociente por A / constituye una partición del conjunto A, ya que:

• Las clases de equivalencia no son vacías,

• las distintas son necesariamente disjuntas y como cada elemento de está en alguna de ellas,

• la unión de todas es todo el conjunto .

De hecho dada una partición en el conjunto podemos construir una relación de equivalencia de forma que las clases de equivalencia de esta relación sean exactamente los conjuntos de la partición.

 RELACIÓN DE ORDEN

Una relación binaria 勿 sobre un conjunto A se dice que es de orden, si es reflexiva, antisimétrica y transitiva.

Los órdenes más comunes son las relaciones ≤ y ⩾ en Z y en R. Por esta razón cuando nos refiramos en general a una relación de orden en un conjunto A, usaremos lo símbolos ^ y para 勿. Estos son similares a los ≤ y ⩾ que seguiremos utilizando cuando el conjunto sea Z o R.

Si ^ es una relación de orden sobre un conjunto A, entonces a ^ b se lee “a precede a b” o “ a es anterior a b”.

Si a ^ b y a = b, emplearemos a ≺ b y diremos que “a precede estrictamente a b” o “a es estrictamente anterior a b”.

a b se lee “a sucede a b” o “a es posterior a b”

a ≻ b se lee “a sucede estrictamente a b” o “a es estrictamente posterior a b” .

Ejemplo: Probar que la relación “menor o igual” definida en el conjunto Z de los números enteros es de orden.

Solución:

Sean a y b dos enteros cualesquiera.

...