Ronaldo Peña
Enviado por laurimarzavala • 16 de Octubre de 2013 • 1.419 Palabras (6 Páginas) • 269 Visitas
El área de una figura geométrica es todo el espacio que queda encerrado entre los límites de esa figura.
Para calcular el área de algunas figuras se los siguientes pasos
Área de un triángulo
Áreas.
El área de un triángulo es igual al semiproducto entre la longitud de una base y la altura relativa a esta:3
Donde b es la base del triángulo y h es la altura correspondiente a la base. (se puede considerar cualquier lado como base)
Si el triángulo es rectángulo, la altura coincide con uno de los catetos, con lo cual el área es igual al semiproducto de los catetos:
Donde a y b son los catetos.
Si se conoce la longitud de sus lados, se puede aplicar la fórmula de Herón.
Donde a, b, c son los valores de las longitudes de sus lados, s = ½ (a + b + c) es el semiperimetro del triángulo.
Si el triángulo es equilátero, el área es igual a un cuarto del cuadrado de un lado por la raíz cuadrada de 3:
Donde a es un lado del triángulo.
Área de un cuadrilátero
Trapezoide.
El área del trapezoide o de cualquier cuadrilátero es igual al semiproducto de sus diagonales por el seno del ángulo que forman.
El área también se puede obtener mediante triangulación:
Siendo:
El ángulo comprendido entre los lados y .
El ángulo comprendido entre los lados y .
El rectángulo es un paralelogramo cuyos ángulos son todos de 90º, y el área es igual al producto de dos de sus lados contiguos a y b:3
El rombo es un paralelogramo, cuyos 4 lados son iguales, y tiene su área dada por el semiproducto de sus dos diagonales:
El cuadrado es el polígono regular de cuatro lados; es a la vez un rectángulo y un rombo, por lo que su área puede ser calculada de la misma manera que la de estos dos. En particular, dado que sus lados son iguales, se usa la fórmula:3
El romboide tiene su área dada por el producto de uno de sus lados y su altura respectiva:3
El trapecio, el cual tiene dos lados opuestos paralelos entre sí y dos lados no paralelos, tiene un área que viene dada por la media aritmética de sus lados paralelos multiplicado por la distancia entre ellos (altura):3
Área del círculo y la elipse
El área de un círculo, o la delimitada por una circunferencia, se calcula mediante la siguiente expresión matemática:4
El área delimitada entre la gráfica de dos curvas puede calcularse mediante la diferencia entre las integrales de ambas funciones.
El área delimitada por una elipse es similar y se obtiene como producto del semieje mayor por el semieje menor multiplicados por π:5
Área delimitada entre dos funciones
Una forma para hallar el área delimitada entre dos funciones, es utilizando el cálculo integral:
El resultado de esta integral es el área comprendida entre las curvas: y en el intervalo .
Ejemplo
Si se quiere hallar el área delimitada entre el eje x y la función en el intervalo , se utiliza la ecuación anterior, en este caso: entonces evaluando la integral, se obtiene:
Por lo que se concluye que el área delimitada es .
El volumen encerrado entre dos funciones también puede ser reducido al cálculo de una integral, similar.
Relación área-perímetro
Dada una curva simple cerrada en el plano euclídeo puede probarse que su longitud o perímetro del área encerrada y la propia área encerrada satisfacen la relación:
(left)
La igualdad se alcanza sólo para un círculo el resto de figuras y formas posibles cumplen la desigualdad estricta.
Área de superficies curvas
El área de una superficie curva es más complejo y en general supone realizar algún tipo de idealización o límite para medirlo.
Cuando la superficie es desarrollable, como sucede con el área lateral de un cilindro o de un cono el área de la superficie puede calcularse a partir del área desarrollada que siempre es una figura plana. Una condición matemática necesaria para que una superficie sea desarrollable es que su curvatura gaussiana sea nula.
Cuando la superficie no es desarrollable, el cálculo de la superficie o la fórmula analítica para encontrar dicho valor es más trabajoso. Un ejemplo de superficie no desarrollable es la esfera ya que su curvatura gaussiana coincide con el inverso de su radio al cuadrado, y por tanto no es cero. Sin embargo la esfera es una superficie de revolución.
Superficie de revolución
Cuando una superficie curva puede ser generada haciendo girar un curva plana
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