SUMATORIA DE CINCO ARMONICOS POR SUMACION DE CESÁRO

ANALISIS DE SEÑALES

LABORATORIO 4

SUMATORIA DE CINCO ARMONICOS POR SUMACION DE CESÁRO

JHON JAVIER DELGADO CAICEDO

JHON ANDRESSON SANCHEZ PERDOMO

JULIAN CAMILO PEÑA VERA

JHONATAN SANABRIA GUTIERREZ

UNIVERSIDAD DE LOS LLANOS

FACULTAD DE CIENCIAS BASICAS E INGENIERIA

2013

INTRODUCCION

En el siguiente laboratorio diseñaremos e implementaremos un circuito capaz de hacer la sumatoria de armónicos por medio del algoritmo de sumacion de cesáro

OBJETIVOS

Diseñar e implementar un circuito capaz de sumar 5 armónicos por medio del algoritmo de cesaró

MARCO TEORICO

Sumación de Cesáro

En el campo del análisis matemático, la sumación de Cesàro es un método alternativo de asignarle una suma a una serie infinita. Si la serie converge en la forma usual a una suma α, entonces la serie es sumable Cesàro y posee una suma de Cesàro α. La relevancia de la sumación de Cesàro es que es posible que una serie que diverge tenga una suma de Cesàro.

Definicion

Sea {an} una sucesión, siendo

[pic 1]

la suma k–ésima de los primeros k términos de la serie

[pic 2].

La sucesión {an} se denomina sumable Cesàro, con una suma de Cesàro α, si

[pic 3].

Para calcular la sumación de Cesàro (C, 1) de 1 − 2 + 3 − 4 + · · ·, en el caso de que existiera, se debe calcular el promedio aritmético de las sumas parciales de los términos de la serie. Las sumas parciales son:

1, −1, 2, −2, 3, −3, …,

y los promedios aritméticos de estas sumas parciales resultan ser:

1, 0, 2⁄3, 0, 3⁄5, 0, 4⁄7, ….

Dado que esta sucesión no converge, entonces se concluye que 1 − 2 + 3 − 4 + · · · no es sumable según el método de Cesàro.

Existen dos generalizaciones del método de sumación de Cesàro: la más simple conceptualmente de las dos es la sucesión de los métodos (H, n) para números naturales n. La suma (H, 1) es la sumación de Cesàro, y los métodos de mayor orden repiten el cálculo de los promedios. En la expresión anterior, los promedios pares convergen a 1⁄2, mientras que los promedios impares son iguales a cero, por lo tanto el promedio de los promedios converge al valor promedio de 0 y 1⁄2, o sea 1⁄4.6 Por lo tanto 1 − 2 + 3 − 4 + · · · es sumable (H, 2) arrojando el valor de 1⁄4.

La "H" se usa en honor a Otto Hölder, quien fue el primero en demostrar en 1882 lo que hoy los matemáticos piensan es la conexión entre la sumación de Abel y la sumación (H, n); su primer ejemplo fue 1 − 2 + 3 − 4 + · · ·.7 El hecho que 1⁄4 es la suma (H, 2) de 1 − 2 + 3 − 4 + · · · asegura que es también la suma de Abel; lo cual se demuestra en la siguiente sección.

La otra generalización conocida de la sumación de Cesàro es la sucesión de los métodos (C, n). Se ha demostrado que la sumación (C, n) y la sumación (H, n) siempre dan los mismos resultados, aunque tienen distintas historias. En 1887, Cesàro estuvo muy cerca de desarrollar la definición de la sumación (C, n), pero sólo dio unos pocos ejemplos, incluyendo 1 − 2 + 3 − 4 + · · ·, la que sumó obteniendo el valor 1⁄4 por un método que podría ser interpretado como (C, n) pero que no fue justificado como tal en ese momento. Recién en 1890 Cesàro definió formalmente a los métodos (C, n) en la demostración de su teorema, el cual dice que el producto de Cauchy de una serie sumable (C, n) y una serie sumable (C, m) es una serie sumable (C, m + n + 1).

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