TAREA 1: RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO

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UNIVESIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA

 TAREA 1: RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO

Presentado por:

LIDIA ROSARIO CAICEDO c.c. 59829456

EDINSON GEMBUEL

SEGUNDO JOSEHINER GUERRERO

LAURA MELISA LORA

ANA PATRICIA QUENORAN

Presentado a:

VICTOR HUGO MARTINEZ HERRERA

GRUPO: 551122_4

ESCUELA CIENCIAS DE LA EDUCACION

LICENCIATURA EN MATEMATICAS

OCTUBRE 2106

INTRODUCCIÓN

La geometría es una rama de las matemáticas que ayuda a interpretar mejor y representaciones semióticas de los diferentes regitros que se pueden presentar en matemáticas.  Su conocimiento es de vital importancia y utilidad para todo docente de matemáticas. La geometría del espacio es una de las ramas matemáticas que más proporciona conocimientos base para estudios universitarios y de algunas carreras en general, por eso se hace tan importante su estudio y consolidación dentro de nuestra carrera como licenciados en la educación matemática.

Son muchas las temáticas que encierran el estudio de la geometría del espacio, sin embargo se centran en el estudio de figuras geométricas, los volúmenes, sus áreas, mediadas, propiedades, entre otros elementos más, así mismo conocer temas básicos de geometría plana como las rectas, las líneas, los planos, etc., permiten que el desarrollo de este trabajo colaborativo haya sido eficaz y completo.

En el siguiente trabajo se presenta los conceptos básicos de la Geometría del espacio y de ejercicios correspondientes a la Unidad 1, que se elaboraron de manera colaborativa.

1. Hacer un documento en Word sobre el tema: Rectas y planos en el espacio

RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO

Conceptos previos:

A diferencia de la geometría plana,  de dos dimensiones, que estudia las figuras cuyas partes están dadas en un mismo plano, la geometría de espacio, o de tres dimensiones, trata de las propiedades de las figuras cuyas partes no están todas en un mismo plano. [pic 2]

Punto: El punto es una figura geométrica sin dimensión, tampoco tiene longitud, área, volumen, ni otro ángulo dimensional. No es un objeto físico. Describe una posición en el espacio, determinada respecto de un sistema de coordenadas preestablecidas.

Espacio: Es el  conjunto de universo de la geometría. En él se encuentran todos los demás elementos. Dentro del determinamos cuerpos geométricos como cajas, planetas, esferas, etc.

Recta: Una recta es una sucesión ininterrumpida de puntos con una misma dirección, por lo tanto sólo tiene una dimensión. Dos puntos determinan una recta, la recta es infinita, no posee ni principio ni fin. La imagen de una recta es la de un hilo tenso, indefinidamente largo e infinitamente delgado. Ecuación de la recta en el plano cartesiano  [pic 3]

RECTAS EN EL ESPACIO   [pic 4]

Sean   y   dos puntos en el espacio y L la recta que pasa por ellos, se deduce entoces que la recta L es paralea al vector   ;   al cual se le llama vector dirección.  [pic 5][pic 6][pic 7][pic 8]

Si tomamos un punto   entonces el vector no es mas que una extención de  por lo que se puede definir   siendo  un escalar con    [pic 9][pic 10][pic 11][pic 12][pic 13][pic 14]

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Como , entonces. [pic 16]

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Despejando

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Si escribimos las componentes en el espacio, sería.

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Despejando las componentes se obtienen las ecuaciones paramétricas de L.

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Si cada despejando  se obtienen las ecuaciones simétricas e igualando.  [pic 23][pic 24]

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Planos en el espacio

Un plano es un objeto que tiene solo dos dimensiones y que puede contener infinitos puntos y rectas, dicho objeto no posee volumen, y por ende se puede representar de diferentes formas y posiciones.  Ahora bien los planos situados en un espacio tridimensional dividen a este en ocho subespacios a los cuales se les denomina octantes.

Para poder denominar un plano es necesario tener en cuenta cuatro diferentes puntos:

• Por tres puntos no alineados.
• Por una recta y un punto exterior.
• Por dos rectas que se cortan.
• Por dos rectas paralelas.

Cuando se ubican los planos en el espacio pueden llegar a tener interacciones con rectas y entre otros planos de la siguiente manera.

Posiciones relativas entre dos planos:

• Coincidentes: dos planos son coincidentes cuando tiene tres puntos en común que no están en una línea recta.
• Paralelos: dos planos son paralelos cuando no tienen ningún punto en común.
• Secantes: dos planos son secantes cuando tiene una recta en común.[pic 26]

Posiciones relativas de una recta y un plano:

• Paralelos: cuando la recta no tiene ni un punto en común.
• Secantes: cuando la recta tiene un punto en común al plano.
• Coincidentes: cuando la recta tiene dos puntos en común con el plano.

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Cuando se habla de planos en el espacio, se habla de que son elementos que se pueden representar dentro del mismo, y su forma de representación es por medio de ecuaciones. Para verificar esto observemos como se llega a construir la estructura de la ecuación de un plano.

Para crear la ecuación es necesario tener una serie de puntos, en la imagen se muestran dos vectores que están ligados al punto inicial r0 y r y que su punto final se encuentra en el plano, dichos puntos finales tiene coordenadas dentro del plano y se representan de la siguiente manera P0 (x0,y0,z0) y P (x, y, z) respectivamente.[pic 28]

Para seguir adelante con el análisis de la ecuación del plano es necesario trazar un vector que une los dos puntos finales de los dos vectores antes mencionados y se llamara   y dicho vector tendrá como coordenadas los siguientes puntos y que visto desde otro punto de vista es la resta de entre los dos vectores .  Por ultimo se tiene un vector que es necesario en la construcción de la ecuación del plano y es aquel vector que es perpendicular al plano y a su vez al vector . [pic 29][pic 30][pic 31][pic 32]

Teniendo en cuenta lo anterior se puede decir que el producto escalar de estos vectores debe dar cero ya que el vector  es perpendicular al  vector , por consiguiente se tiene la siguiente expresión  a dicha expresión se le conoce como ecuación vectorial de un plano.  A manera de resumen para determinar la ecuación del plano se debe conocer un punto que pertenezca al plano y un vector que sea perpendicular a todos los puntos dicho plano, o también, dos vectores directores y un punto en el plano. [pic 33][pic 34][pic 35]

Ahora miremos las coordenadas de cada uno de los vectores mencionados.

,  ,   [pic 36][pic 37][pic 38]

Ahora reemplazando estos valores en la ecuación antes determinada se obtiene.

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A la expresión encontrada se le conoce como la ecuación escalar del plano. A partir de la anterior expresión se puede extender seguir operando de la siguiente manera.

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Cuando se resuelven las operaciones del otro lado de la igualdad nos da como resultado un número real, por lo tanto a la parte que se encuentra a la derecha de la ecuación se le da el nombre de d, por lo que se obtiene la siguiente expresión. 

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Dicha expresión recibe el nombre de ecuación lineal del plano. En conclusión dichas ecuaciones encontradas son equivalentes y representan un mismo plano.

1. Resolver los siguientes 8 (ocho) ejercicios propuestos

A) Se fija el extremo de un cordel de 5 metros de largo en el techo de un aposento de 4 metros de alto, y en el otro extremo del cordel extendido, se traza una circunferencia en el piso; calcule el área de la círculo resultante.

        Para hallar el área del círculo resultante utilizamos la fórmula:

𝐴 = 𝜋 × 𝑟2

Entonces, recurrimos al teorema de Pitágoras para determinar el radio del círculo:

...