Tarea 1: Sistema de Coordenadas y la recta

Tarea 1: Sistema de Coordenadas y la recta

INSTRUCCIONES 

Desarrolla 8 ejercicios y aplica el primer contenido; sistema de coordenadas y la recta y el segundo contenido; lugar geométrico: la parábola.

Ejercicio 1

Demuestra que los puntos (7,3) 𝑦 (3,7) están a la misma distancia del origen. (5 puntos)

R: Utilizando la fórmula para medir la distancia entre 2 puntos

[pic 2]

Tenemos:

Caso a: Consideramos A(0,0) B(7,3)

d (A,B)    = √(49+9) =√58[pic 3]

Caso b: Consideramos A(0,0) B(3,7)

d (A,B)    = √(9+49) =√58[pic 4]

Ejercicio 2

Utiliza las pendientes para demostrar que (1,1),𝐵(11,3),𝐶(10,8)𝑦 𝐷(0,6) son los vértices de un rectángulo.

(10 puntos)

Primero Revisaremos si la recta L1 que pasa por los puntos (0,6) y (10,8) es paralela a la recta  L2 que pasa por los puntos (1,1) y (11,3), para ello utilizamos la ecuación de la pendiente:

[pic 5]

Entonces para L1 tenemos:

mL1 = (8-6)/(10-0) = 2/10 = 1/5.

Para L2 tenemos:

mL2 = (3-1)/(11-1) = 2/10 = 1/5.

Considerando los resultados anteriores L1//L2 dado que mL1 = mL2

Ahora consideramos L3 (10,8) y (11,3) y L4 (1,1) y (0,6), aplicando la formula anterior obtenemos que:

Entonces para L3 tenemos:

mL3 = (3-8)/(11-10) = -5/1 = -5.

Entonces para L4 tenemos:

mL4 = (6-1)/(0-1) = 5/-1 = -5.

Considerando los resultados anteriores L3//L4 dado que mL3 = mL4  

Por otra parte: L3 es perpendicular a L1 dado que mL1 * mL3   = -5*1/5 = -1

Adicionalmente L2 es perpendicular a L4 dado que mL2 * mL4   = -5*1/5 = -1

Ejercicio 3

Si 𝑀(6,8) es el punto medio del segmento de recta AB, y si A tiene coordenadas (2,3), determina las coordenadas de B. (10 puntos)

[pic 6]

Considerando A= (2,3), B=(X,Y), M=(6,8)

M = ((X1+ X2)/2, (Y1+Y2)/2) , esto implica que:

6= (X1+ X2)/2 y 8= (Y1+Y2)/2

Desarrollando:

(X1+ X2)=12 , (Y1+Y2)=16

Reemplazando los valores de A y B, tenemos:

2+X =12 ,  3+Y =16

X =10 , Y= 13

Ejercicio 4

Encuentra la ecuación principal de la recta que pasa por el punto (−2,0) y es perpendicular a la recta de ecuación 2𝑥−𝑦+5=0. (5 puntos)

Considerando que las rectas son perpendiculares, se debe cumplir que:

m1*m2  = -1

Tomando en consideración que la ecuación dada tiene la forma y =2x+5 m1= 2.

m2 corresponde a la pendiente de la recta que estamos buscando, por lo tanto, para la ecuación que pasa por un punto y tiene una pendiente dada, se tiene

(y-y1)=m2*(X-X1), considerando el punto B(-2,0) y m2 = -1/m1 = -1/2.

Y-0 = -1/2(X +2)

Y= - 1/2 X – 1.