Tarea 11 Matematicas Avanzadas 1

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Nombre del curso: Matemáticas avanzadas 1. Nombre del profesor:

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Módulo: Módulo 3. Cálculo diferencial de funciones de varias variables Actividad: Ejercicio Evaluable 9 Tema 9. Derivadas parciales

Fecha: 8 de noviembre de 2013

Bibliografía:

Stewart, J. (2008). Cálculo de varias variables trascendentes tempranas (6ª

Ed.). México: Cengage.

Thomas, G., Finney, R. (1999). Cálculo: varias variables (11ª Ed.).

México: Pearson Educación

Objetivo:

Identificar bajo qué situación usar una derivada parcial. Identificar bajo qué situación usar una derivada total.

Procedimiento:

1. Investiga en una fuente confiable, una aplicación de las derivadas totales, describe el ejemplo, resuélvelo e interpreta el resultado obtenido.

2. Para las siguientes funciones encuentra:

a. La derivada parcial con respecto a x.

b. La derivada parcial con respecto a y.

c. La segunda derivada parcial de xy.

d. La segunda derivada parcial de yx.

e. La diferencia total.

f(x, y) = sen 2x - cos xy

f(x, y) = sen(x2 + y2)

Resultados:

El concepto de diferencial puede extenderse fácilmente a funciones de dos o más variables independientes.

Consideremos la siguiente función z =F(x,y), supongamos que esta función es continua y posee derivadas parciales, es decir es diferenciable en cualquiera de sus puntos. Sabemos que “z” puede variar cuando existen cambios en “x” o “y”. También podemos encontrar esos cambios por medio de las diferenciales parciales, pero ¿cómo podríamos obtener el cambio total en “z”, cuando han ocurrido cambios en ambas variables?.

Respuesta: Haciendo uso de las diferenciales parciales.

Entonces el cambio total en "z" será igual a

--------------------------------------...

dz/dt = (∂z/∂x) (dx/dt) + (∂z/∂y) (dy/dt)

--------------------------------------...

donde

∂z/∂x .. es la derivada parcial de "z" respecto de "x"

∂z/∂y .. es la derivada parcial de "z" respecto de "y"

Ejemplo

Hallar la diferencial total de z=3x² + xy -2y³,

donde x = t³ - t +1; y = sen (2t)

Solución

Para poder encontrar la derivada total, primero necesitamos obtener la derivada parcial de z con respecto a la variable x.

∂z/∂x = ∂/∂x (3x² + xy -2y³) = 6x + y

Ahora encontraremos la derivada parcial de z con respecto a y, es decir

∂z/∂y = ∂/∂y (3x² + xy -2y³) = x - 6y²

Obtengamos las derivadas de "x" e "y" respecto de "t"

dx/dt = d/dt (t³ - t +1) = 3t²-1

dx/dt = d/dt (sen(2t)) = 2cos(2t)

una vez obtenidas las derivadas podemos formar nuestra derivada total quedando expresada de la siguiente forma:

dz/dt = (∂z/∂x) (dx/dt) + (∂z/∂y) (dy/dt)

dz/dt = [6x+y] [3t²-1] + [x-6y²] [2 cos(2t)]

pero como

x = t³ - t +1; y = sen (2t)

dz/dt = [ 6(t³ - t +1) + sen (2t) ] [3t²-1] + [(t³ - t +1) - 6(sen (3t))²] [2 cos(2t)]

dz/dt = [ 6t³ - 6t + 6 + sen (2t) ] [3t²-1] + [t³ - t +1 - 6sen² (3t)] [2 cos(2t)]

de aqui solo hacer operaciones y simplificar

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Una aplicacion interesante es el caso utilizado en las aproximaciones

Ejemplo

Hallar cuanto varia el volumen de un cilindro, radio de la base 5 cm, altura 10 cm; cuando su radio crece a razon de 2 mm/s y su altura disminuye a 3 mm/s

Solucion

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