Tasa De Interes

UNIVERSIDAD DE CARTAGENA

CATEDRA INGENIERIA ECONÓMICA

PROGRAMA DE INGENIERIA DE SISTEMAS A DISTANCIA

2º Ciclo – 2012

8º SEMESTRE

1. Tasas de Interés

La inversión en activos físicos y en capital humano aumenta la capacidad productiva y contribuye a una mayor generación de riqueza en el futuro. Para invertir es necesario ahorrar, es decir, abstenerse del consumo presente. Dado que la inversión produce riquezas y aumenta el consumo futuro, quien invierte tiene que pagar a quien ahorra un precio por el uso del ingreso presente. Este precio se llama tasa de interés.

Como cualquier precio, la tasa de interés depende de la oferta y la demanda. La oferta de dinero (de fondos prestables) depende de las preferencias por el consumo presente contra el consumo futuro. La demanda de fondos prestables depende de las oportunidades de inversión. En una economía con poca disponibilidad de ahorros y muchas oportunidades de inversión productiva el dinero es caro (las tasas de interés son altas). En cambio, en una economía con abundancia de ahorros y escasez de oportunidades de inversión el dinero es barato.

La tasa nominal de interés (Rn), también conocida como la tasa contractual o la tasa estipulada, es la tasa anual pactada que rige durante la vida del contrato. El interés efectivo depende no solo de la tasa nominal, sino también del número de capitalizaciones (composiciones) en el año, el interés depende también de la base que se toma para calcular el interés.

La tasa efectiva de interés (Re) es la tasa con la que el principal crece efectivamente durante un año. Es una función de la tasa nominal y de la frecuencia de capitalización, m.

Donde

Sustituyendo en la fórmula, tenemos:

Ejemplo 1

¿Cuál es la tasa de interés efectiva si la tasa nominal de 48% se compone mensualmente?

Rn = 0,48

m = 12

Respuesta: Cuando la tasa nominal se compone mensualmente, la tasa efectiva es de 60.1%

Ejemplo 2

¿Cuál es la tasa efectiva si el rendimiento nominal de los Cetes a 28 días es de 21.5%?

Rn = 21.5%, m = 360/28 = 12.8571

Respuesta: El rendimiento efectivo de los Cetes a 28 días es de 23.77%

Ejemplo 3

¿Cuál es la tasa nominal compuesta trimestralmente que produce un rendimiento efectivo anual de 20%?

Aquí tenemos que despejar Rn de la siguiente ecuación:

Respuesta: Si la tasa nominal de 18.65% es compuesta trimestralmente, producirá un rendimiento anual de 20%

Paradoja

Dos tasas de interés nominales con diferentes periodos de capitalización, que en un año producen el mismo rendimiento, se llaman tasas equivalentes.

En el ejemplo 1, la tasa nominal de 48% compuesta mensualmente es equivalente a la tasa nominal de 60% compuesta anualmente.

Si la tasa nominal 1, Rn1, con la frecuencia de composición a, producen la misma tasa efectiva que la tasa nominal 2, Rn2, con la frecuencia de composición b, las dos tasas son equivalentes.

De manera formal:

Si = , entonces Rn1 es equivalente a Rn2

Ejemplo 4

¿Cuál es la tasa nominal compuesta trimestralmente equivalente a una tasa nominal de 25% compuesta diariamente?

Solución: Las dos tasas nominales resultan en la misma tasa efectiva. Para resolver este problema tenemos que contestar las siguientes preguntas:

1. ¿Cuál es la tasa efectiva si la tasa nominal de 25% se compone diariamente?

2. ¿Cuál es la tasa nominal que produce dicha tasa efectiva si la composición es trimestral?

El lado izquierdo de la ecuación que sigue contesta la pregunta 1 y el lado derecho la pregunta 2.

Resolviendo esta ecuación respecto a Rn obtenemos la solución:

La tasa nominal de 25.79 compuesta trimestralmente es equivalente a la tasa de 25% compuestas diariamente.

El problema de la tasa efectiva (o equivalente) surge también si, por alguna razón, se selecciona incorrectamente la base para calcular el interés. Esto sucede cuando se cobra el interés en forma anticipada, o cuando el interés no se calcula sobre los saldos sino sobre el principal original. Este procedimiento sirve para disfrazar el valor real de la tasa de interés.

Ejemplo 5

Un prestamista nos presta $1000 a un año a 20%, pero quiere cobrar el interés por anticipado. ¿Qué tasa de interés está implícita en este contrato?

Solución: El prestamista nos cobra $200 de intereses por anticipado, esto es, nos entrega tan solo $800. Es necesario despejar R de la siguiente ecuación:

de donde:

200 representa el 25% de 800(pero el 20% de 1000)

Respuesta: El prestamista nos cobra en realidad una tasa de 25% anual.

Observación: El 20% que dice el prestamista que nos cobra no es la tasa de interés, sino la tasa de descuento bancario, . La tasa de interés, , es:

En vista de lo anterior, el descuento bancario se llama a veces interés por adelantado.

EJERCICIO DE COMPROBACIÓN

¿Cuál es la tasa mensual al vencimiento equivalente a la tasa anticipada de 4%?

Respuesta: 4.1667%

Ejemplo 6

Un prestamista nos presta $1000 a un año al 10%, pero exige la liquidación de la deuda en dos años iguales de $550. ¿Qué tasa de interés está implicada en este contrato?

Solución: Podemos visualizar la situación en un diagrama de tiempo.

El diagrama presenta una anualidad y se ilustra muy bien el concepto del valor del dinero en el tiempo como el de las equivalentes. Para hacerlo, necesitamos despejar la tasa de interés de la siguiente manera:

La tasa de interés compatible con esta ecuación es 6.5965% semestral, o sea, 13.19% anual.

Respuesta: En realidad el prestamista nos cobra una tasa de 13.19% anual.

Conversiones

Ahora estudiaremos varios casos en los que haremos conversiones de una tasa a otra y que otra manera de hacerlo con ejemplos:

Nominal a efectiva

Conocida la tasa nominal del crédito se necesita conocer la tasa efectiva periódica equivalente. Esta situación se presenta con frecuencia en el sector financiero,

10000

1

2

0

550

550

debido a que las entidades financieras suelen expresar, por lo general, las tasas de interés de colocación en forma nominal y el deudor necesita conocer tanta la tasa efectiva periódica (que es la tasa que determina el valor de los intereses) como la tasa efectiva anual del crédito.

Ejemplos 7

Al señor Pedro Picapiedra le conceden un crédito en el Banco Cafetero por un valor de $20.000.000 a una tasa del 30%TV (trimestre vencido). Calcular la tasa efectiva trimestral que le cobran y el valor de los intereses del trimestre.

Le prestan al 30% anual y le van a liquidar la cuarta parte cada trimestre. Se hace necesario calcular la tasa efectiva trimestre equivalente.

Dividamos la tasa nominal trimestral

Valor de los intereses. trimestral.

Efectiva a otra efectiva

Conocida una tasa efectiva se necesita calcular otra efectiva equivalente. Puede ser el caso de una tasa efectiva menor a una efectiva mayor o viceversa. Esta es una de las situaciones financieras que mayor confusión despiertan entre los lectores que se inician en el estudio de las Matemáticas Financieras, debido a que no se acostumbra a manejar mentalmente el concepto de la reinversión de los intereses, que puede ser real o virtual. En una forma desprevenida, si conoce una tasa periódica del 2% mensual, y necesita calcular la tasa anual equivalente, efectiva anual del 30% y desean calcular su tasa mensual equivalente, la dividen entre 12. Estos dos cálculos ignoran la reinversión real o virtual de los intereses en que se apoya la tasa efectiva. Si se produce la reinversión real de los intereses en que apoya la tasa efectiva. Si se produce la reinversión real de los intereses periódicos la tasa efectiva anual siempre será mayor que la tasa nominal, que es la que resulta de multiplicar la tasa periódica por el número de períodos. Si no se da la reinversión real de los intereses la tasa efectiva, todavía supone la reinversión virtual o implícita.

La fórmula que emplearemos para hacer esta conversión es

teniendo en cuenta que

Efectiva periódica menor a efectiva periódica mayor

Ejemplo 8

¿Qué tasa trimestral es equivalente al 2.20% mensual?

Aplicando la ecuación de la tasa efectiva ecuación (3):

=

Esto nos indica que es equivalente aplicar una tasa del 2.20% mensual sobre una inversión durante 3 meses que aplicar una tasa del 6.75% trimestral sobre la misma inversión en un trimestre.

Efectiva periódica mayor a efectiva periódica menor

Este es un caso común en nuestro sistema financiero, donde las tasas de captación (por ejemplo, para un CDT) y las tasas de los créditos bancarios generalmente se expresan como efectivas anuales, pero los intereses se deben liquidar en períodos menores al año, por lo tanto, se hace necesario conocer la tasa efectiva periódica equivalente.

Ejemplo 9

¿Qué tasa mensual es equivalente a una tasa del 40% efectiva anual?

Aplicando radicales a ambos miembros de la igualdad, ésta no se altera.

También podemos lograr la solución a esta clase de problemas aplicando logaritmos.

mensual

Esto significa que una tasa efectiva anual del 40% es equivalente a una tasa del 2.84% mensual.

Efectiva a nominal

Conocida una tasa efectiva se pide calcular una tasa nominal equivalente.

Ejemplo 10

A partir de una tasa efectiva anual del 40%, calcular la tasa

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