Valores Evidenciales

ÁLGEBRA DE BOOLE

Álgebra de Bolo (también llamada retícula booleana) en informática y matemática, es una estructura algebraica que esquematiza las operaciones lógicas Y, O , NO y SI (AND, OR, NOT, IF), así como el conjunto de operaciones unión, intersección y complemento.

•

DEFINICIÓN

Dado un conjunto: formado cuando menos por los elementos: en el que se ha definido:

• Una operación unaria interna, que llamaremos complemento:

En esta operación definimos una aplicación que, a cada elemento a de B, le asigna un b de B.

Para todo elemento a en B, se cumple que existe un único b en B, tal que b es el complemento de a.

• La operación binaria interna, que llamaremos suma:

por la que definimos una aplicación que, a cada par ordenado (a, b) de B por B, le asigna un c de B.

Para todo par ordenado (a, b) en B por B, se cumple que existe un único c en B, tal que c es el resultado de sumar a con b.

• La operación binaria interna, que llamaremos producto:

Con lo que definimos una aplicación que, a cada par ordenado (a, b) de B por B, le asigna un c de B.

Para todo par ordenado (a, b) en B por B, se cumple que existe un único c en B, tal que c es el resultado del producto a y b.

Dada la definición del álgebra de Boole como una estructura algebraica genérica, según el caso concreto de que se trate, la simbología y los nombres de las operaciones pueden variar.

Axiomas necesarios

Diremos que este conjunto y las operaciones así definidas: son un álgebra de boole, si cumple las siguientes axiomas:

• 1a: La ley asociativa de la suma:

• 1b: La ley asociativa del producto:

• 2a: Existencia del elemento neutro para la suma:

• 2b: Existencia del elemento neutro para el producto:

• 3a: La ley conmutativa de la suma:

• 3b: La ley conmutativa del producto:

• 4a: Ley distributiva de la suma respecto al producto:

• 4b: Ley distributiva del producto respecto a la suma:

• 5a: Existe elemento complemento para la suma:

• 5b: Existe elemento complemento para el producto:

TEOREMAS FUNDAMENTALES

Partiendo de los cinco axiomas anteriores, se pueden deducir y demostrar los siguientes teoremas fundamentales:

• 6a: Ley de idempotencia para la suma:

• 6b: Ley de idempotencia para el producto:

• 7a: Ley de absorción para la suma:

• 7b: Ley de absorción para el producto:

• 8a: ley de identidad para la suma:

• 8b: ley de identidad para el producto:

• 9: Ley de involución:

• 10: Ley del complemento:

• 11: Leyes de De Morgan:

Orden en el álgebra de Boole

Sea: un álgebra de Boole, sean a, b dos elementos del conjunto, podremos decir entonces que a antecede a b y lo denotamos:

Si se cumple alguna de las siguientes condiciones:

1.

2.

3.

4.

Estas cuatro condiciones se consideran equivalentes y el cumplimiento de una de ellas implica necesariamente el cumplimiento de las demás. Definiendo un conjunto parcialmente ordenado.

Principio de dualidad

El concepto de dualidad permite formalizar este hecho: a toda relación o ley lógica le corresponderá su dual, formada mediante el intercambio de los operadores suma con los de producto, y de los con los .

Adición Producto

1

2

3

4

5

6

7

8

9

OTRAS FORMAS DE NOTACIÓN DEL ÁLGEBRA DE BOOLE

En Lógica binaria se suele emplear la notación , común en la tecnología digital, siendo la forma más usual y la más cómoda de representar.

Por ejemplo las leyes de De Morgan se representan así:

Cuando el álgebra de Boole se emplea en electrónica, suele emplearse la misma denominación que para las puerta lógica

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