Variable Aleatorias

GENERACIÓN DE VARIABLES ALEATORIAS

La generación de cualquier variable aleatoria se va a basar en la generación previa de una distribución uniforme (0,1). Y las transformaciones de dichos números generados en valores de otras distribuciones.

La mayoría de las técnicas utilizadas para la generación se pueden agrupar en:

 Método de la transformada inversa

 Método de aceptación-rechazo

 Método de composición

 Método de convolución

MÉTODO DE LA TRANSFORMADA INVERSA

Es el método más directo para generar una variable aleatoria. Sea

una función de distribución cuya función de distribución inversa es:

Sea U una variable aleatoria de

se verifica que

tiene la función de distribución F. La prueba se sigue de la observación de que

Esto sugiere inmediatamente el siguiente esquema de generación:

Algoritmo del método de la transformada inversa

Propósito: Generar Z aleatoriamente de

Entrada: Capacidad para evaluar

Salida: Z

Método: Generar aleatoriamente U de

Devolver Z.

Ejemplo. La distribución exponencial

Supongamos que tiene una distribución exponencial de media beta. La función densidad de probabilidad es:

La función de distribución (acumulativa) es:

MÉTODO DE ACEPTACIÓN RECHAZO

Este método es más probabilístico que el anterior. Los métodos de inversión, composición y convolución son métodos de generación directos, en el sentido en que tratan directamente con la función de distribución. El método de aceptación-rechazo es menos directo en su aproximación.

Se va aplicar este método en el caso de que la variable aleatoria sea continua, el caso discreto es análogo y está tratado en Prob. 8.9

En este caso tenemos la función de densidad f(x) de la variable y necesitamos una función t(x) que la acote, es decir t(x)³f(x) "x. Hay que notar que t(x) no es, en general, una función de densidad

pero la función r(x)=t(x)/c, si es claramente una función de densidad. (Suponemos que t es tal que c<¥). Debemos de poder generar (esperamos que de forma fácil y rápida) un valor de la variable aleatoria que sigue la función r(x). El algoritmo general queda como sigue:

Generar x que siga la distribución r(x)

Generar u~U(0,1), independiente de x

entonces devolver x si no volver a repetir el algoritmo

El algoritmo continúa repitiéndose hasta que se genera un valor que es aceptado.

Para hacer que se rechacen el menor número de puntos posibles la funciónt(x) debe ser la mínima función que acote a f(x).

MÉTODO DE COMPOSICIÓN

Este método va a poder ser aplicado cuando la función de densidad es fácil de

siendo n el número de trozos en los que se ha dividido la función.

Cada uno de los fragmentos se puede expresara como producto de un función de distribución y un peso

y la función de distribución global la podemos obtener como

El método consiste en generar dos números aleatorios, uno sirve para seleccionar un trozo y el otro se utiliza para generar un valor de una variable que sigue la distribución de dicho trozo. El valor de la variable obtenida es el valor buscado.

El algoritmo general queda como sigue:

Generar u1,u2~U(0,1)

Si u1=w1 entonces generar x~f1(x)

Si no

Si u1=w1+w2 entonces generar x~f2(x)

MÉTODO DE CONVOLUCIÓN

Muchas variables aleatorias incluyendo la normal, binomial,

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