VARIABLES ALEATORIAS

CAPITULO 4

VARIABLES ALEATORIAS

En este Capítulo se verá la importancia de cuantificar los resultados de un experimento aleatorio sabiendo que ellos pueden ser cualitativos o cuantitativos.

Una variable aleatoria es pues, una función que asigna un número real a cada resultado en el espacio muestral de un experimento aleatorio. Ellas se denotan con una letra mayúscula, tal como X.

Formalmente, una variable aleatoria es una función, que asigna eventos (p.e., los posibles resultados de tirar un dado dos veces: (1, 1), (1, 2), etc.) a números reales (p.e., su suma).

Ejemplo

Supongamos que se lanzan dos monedas al aire. El espacio muestral, esto es, el conjunto de resultados elementales posibles asociado al experimento, es

,

Donde (c representa "sale cara" y x, "sale cruz").

Podemos asignar entonces a cada suceso elemental del experimento el número de caras obtenidas. De este modo se definiría la variable aleatoria X como la función

Dada por

El recorrido o rango de esta función, RX, es el conjunto

VARIABLE ALEATORIA DISCRETA

Se dice que una variable aleatoria X es discreta si el número de valores que puede tomar es finito (o infinito contable).

Frecuentemente el interés recae en la probabilidad de que una variable aleatoria tome un valor particular, para ello se requiere primero definir claramente la variable aleatoria. Será importante pues, acordar la siguiente simbología: X x denotará el evento formado por todos los resultados para los que X x y

P(X x) será la probabilidad de dicho evento.

La distribución de probabilidad de una variable aleatoria X es una descripción del conjunto de posibles valores de X, junto con la probabilidad asociada con cada uno de estos valores.

Cuando la distribución de probabilidad se describe a partir de una ecuación, se le denomina función de probabilidad. Esta función f (x) P(X x) va del conjunto de los valores posibles de la variable aleatoria discreta X (denominado rango de X) al intervalo [0,1] y satisface las siguientes propiedades:

La función de distribución acumulada es útil poder expresar probabilidades acumuladas, esto es, valores para los que X son menores o iguales a un valor específico x. de una variable aleatoria discreta X, denotada por F(x) es:

VARIABLE ALEATORIA CONTINUA

Se dice que una variable aleatoria X es continua si el número de valores que puede tomar están contenidos en un intervalo (finito o infinito) de números reales.

Dichos valores pueden asociarse a mediciones en una escala continua, de manera que no haya huecos o interrupciones.

En algunos casos, la variable aleatoria considerada continua en realidad es discreta, pero como el rango de todos los valores posibles es muy grande, resulta más conveniente utilizar un modelo basado en una variable aleatoria continua.

La gráfica de la función f(x) es una curva que se obtiene para un número muy grande de observaciones y para una amplitud de intervalo muy pequeña. Recuerde que la gráfica de una función de probabilidad de una variable aleatoria discreta es escalonada, dando la sensación de peldaños en ascendencia.

VALOR ESPERADO Y VARIANZA DE UNA VARIABLEALEATORIA

El valor esperado (también llamado media o esperanza matemática) de una variable aleatoria discreta X es una medida de posición para la distribución de X.

Se simboliza con _ y se calcula al sumar el producto de cada valor de X con su probabilidad correspondiente. En otras palabras, la media o valor esperado de una variable aleatoria discreta X

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