Variable Aleatoria

Introducci´on a las variables aleatorias

En ocasiones, cuando realizamos un experimento s´olo estamos interesados

en el valor de algunas cantidades determinadas por el resultado, como el valor

obtenido por dos dados, o si el n´umero de paquetes por segundo supera cierto

umbral. Estas cantidades de inter´es se conocen como variables aleatorias y

vienen determinadas por el resultado de un experimento ? podemos asignar

probabilidades a sus posibles valores.

Las variables aleatorias nos permiten trasladar los eventos que resultan de

un experimento a n´umeros. Las variables aleatorias se representan en may´usula

(ejemplo: X) y los valores que asumen en min´uscula (ejemplo: x).

Gracias al uso de las variables aleatorias, las probabilidades asociadas a cada

punto de S se asocian ahora a un valor de un n´umero real.

Ejemplo:Defino X como el n´umero de accesos a un servidor Web en un d´ia.

¿cual ser´a P(X = 50000)?

La forma m´as com´un de especificar la probabilidad asociada a cada punto

es mediante la funci´on de distribuci´on de X, que se define como:

Las funciones de distribuci´on permiten caracterizar R de forma independientes

del espacio de estados S. La funci´on de supervivencia, de gran aplicaci´on

en el ´area de la fiabilidad.

NTRODUCCIÓN

3. Los ejemplos anteriores tienen la característica de que a cada uno de los elementos del espacio muestral se le asigna un número real, que indica el número de veces que está presente el evento de interés. Dicha asignación se realiza a través de una función la cual se denomina variable aleatoria. INTRODUCCIÓN (cont.)

4. VARIABLE ALEATORIA Es una función que asigna un número real, a cada resultado del espacio muestral, de un experimento aleatorio. En otras palabras, es una función X definida: ??: ?? ? ?? Por tanto, es una función cuyo dominio es el espacio muestral y el rango es el conjunto de los número reales.

5. El espacio muestral en muchas ocasiones, no está constituido por números, pero a través de la variable aleatoria, se puede expresar en forma numérica todo tipo de espacio muestral, lo cual facilita el análisis de sus aspectos más relevantes. La distribución de probabilidad de una variable aleatoria refleja su comportamiento probabilístico.

6. NOTA ACLARATORIA En muchos casos ocurre que los elementos del espacio muestral también son números, entonces, X queda definida por X(w)=w (función identidad), es una variable aleatoria. En dicha situación, el mismo experimento aleatorio define una variable aleatoria, con dominio y rango iguales.

7. EJEMPLO 1. Se lanza una moneda. S = {C, S}. Sea X = {Número de caras}. Esta función asigna los siguientes valores a los elementos del espacio muestral: - Si es cara, w = C, entonces, X(w) = 1. - Si es sello, w = S, entonces, X(w) = 0. Por lo tanto, la variable aleatoria X toma los valores: {0, 1}

8. EJEMPLO 2. Se lanzan dos monedas. S= {CC, CS,SC, SS}. X = {Número de caras} Si w = CC, entonces, X(w) = 2. Si w = CS, entonces, X(w) = 1. Si w = SC, entonces, X(w) = 1. Si w = SS, entonces, X(w) = 0. Esta función asigna los siguientes valores a los elementos del espacio muestral: Por lo tanto, la variable aleatoria X toma los valores: {0, 1, 2}

9. EJEMPLO 3. Secuencia del sexo de los dos primeros bebes que nacen en un Hospital. Si utilizamos M para masculino y F para femenino: S= {MM, MF, FM, FF}. X = {Número de femenino en los dos recién nacidos} Si w = MM, entonces, X(w) = 2. Si w = MF = FM, entonces, X(w) = 1. Si w = FF, entonces, X(w) = 0. El dominio de X es el conjunto {MM, MF, FM, FF} y el rango es el conjunto {0,1,2}.

10. EJEMPLO 4. Se lanza un dado. S= {1,2,3,4,5,6}. X = {Número de la cara superior del dado} Es decir, X(w)=w, entonces X es una variable aleatoria. El dominio y el rango de X es el conjunto {1,2,3,4,5,6}.

11. ¿CÓMO DETERMINAR LAS PROBABILIDADES DE “S” A TRAVÉS DE “X”? En el ejemplo 3: S= {MM, MF, FM, FF}. La probabilidad de ocurrencia de cada elemento de S, es igual a 1/4 X puede tomar: 2 para MM, 1 para MF y FM y 0 para FF. X = {Número de féminas en los dos nacimientos} Se tiene: P(X=0) = P(FF) = 1/4. P(X=1) = P(MF,FM) = P(MF)+P(FM)=1/4+1/4=1/2 P(X=2) = P(MM) = 1/4

12. VARIABLES ALEATORIAS (V.A.) DISCRETAS: Cuando puede tomar un número finito o infinito numerable de valores. CONTINUAS: Cuando puede tomar un número infinito no numerable de valores. Alternativamente, se puede definir como aquella variable que puede tomar cualquier valor dentro de un intervalo de números reales.

13. EJEMPLO 5. Variable aleatoria discreta. - El número de accidentes de tránsito que ocurren en una autopista en un lapso de tiempo determinado. - El número de artículos defectuosos que se encuentran en una muestra aleatoria de 20 artículos producidos por una máquina. - El número de veces que se lanza una moneda hasta que salga la primera cara. - El número de hermanos de una persona seleccionada al azar.

14. EJEMPLO 6. Variable aleatoria continua. - El tiempo de espera de un paciente antes de ser atendido. - La edad, la estatura, el peso, la presión arterial, la temperatura. - Ingresos y egresos de una familia.

15. DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD DE UNA V.A. DISCRETA “X” La V.A. discreta X es el conjunto formado por los valores x que puede tomar esa variable y las correspondientes probabilidades P (X=x), tal como se determinó en la diapositiva número 11. En toda distribución de probabilidad de una V. A. discreta, debe cumplirse que todas las probabilidades tienen que estar comprendidas entre 0 y 1 y la suma de ellas, es igual a la unidad (1).

16. La distribución de probabilidad del ejemplo 3 (se lanzan dos monedas) quedaría de la siguiente manera: x 0 1 2 P (X=x) 1/4 1/2 1/4 Es importante notar que, la suma de las probabilidades es 1. Aquellos valores que no toma la variable, tiene una probabilidad igual a cero (0).

17. DIAGRAMA DE LÍNEAS Este diagrama sirve para representar una distribución de probabilidad discreta. Se construye colocando sobre el eje de las abscisas (eje x) los valores de la variable y sobre el eje de las ordenadas (eje y)

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