Varianza Tipica

1. Varianza y Desviación típica

Estas medidas zonas mas utilizadas en el estudio de a dispersión. Como ya hemos dicho la varianza mide la dispersión de los datos con respecto a a media aritmética y la desviación típica o desviación estándar es simplemente la raíz cuadrada positiva de la varianza. Daremos primero la definición de varianza poblacional.

Variación poblacional: la varianza de una población finita de N elementos. se define como la media aritmética del cuadrado de las desviaciones de los elementos con respecto a su media , y se denota por .es decir:

Variancia de una muestra: la varianza o varianza de una muestra x_1, x_2,………, x_n de una variable o característica x (que abreviadamente escribiremos V(x)), se define como la media del cuadrado de las desviaciones de las observaciones con respecto de la media del cuadrado de las desviaciones de las observaciones con respecto de la media aritmética de esos datos. Si denotamos por “S” la varianza de la característica x, entonces

Donde:

N = frecuencia absoluta de la clase i

Y= marca de clase o punto medio de la clase i

La última expresión se escribe también S_(y )^2= ∑_(i=1)^n▒〖(y_i-y ̅)〗^2 h_i

Si conocemos el valor de la media aritmética poblacional u, la mejor estimación de la varianza poblacional a partir de la muestra seria

V(x) = (∑_(i=1)^n▒〖(x_i-μ ̅)〗^2 )/n

Ejemplo

Las frecuencias cardiacas de 5 niños son:

130.132,127, 129,132 pulsaciones por minuto.

Determinar la varianza de la frecuencia cardiaca de la muestra.

Solución:

Se determina la media aritmética de la muestra.

Se toma la diferencia entre cada observación y la media aritmética

Se eleva al cuadrado estas desviaciones.

Se suman los cuadrados de las desviaciones.

La suma se divide por n-1 si la muestra es pequeña y por n-1 o n, si la muestra es muy grande.

Todos los pasos están resumidos en el cuadrado siguiente:

x_i x_(i )- x ̅ 〖(x〗_i-〖x ̅)〗^2

127

129

130

132

132 -3

-1

0

2

2 9

1

0

4

4

∑▒x_(i ) =650 ∑▒〖(x_i 〗- (x)) ̅^2=18

x ̅ = ∑▒x_i / n = 650/5=130

Pulsaciones por minuto

Por tanto:

S^2 = (∑_(i=1)^n▒〖(x_i-x ̅)〗^2 )/n = 18/5 = 3.6

S^2 = (∑_(i=1)^n▒〖(x_i-x ̅)〗^2 )/(n-1) = 18/4 = 4.5

Podemos observar que S^2 si es claramente menor que S^2 debido a que la muestra es pequeña.

Formulas de trabajo para el cálculo de la varianza:

Otra forma de expresar las formulas de la definición de varianza que facilita los cálculos de esta se desarrolla a continuación.

S^2=M(x^2 )-[M(X)]^2

O también:

S^2 = (∑_(i=1)^n▒x_1^2 -( ∑_(i=1)^n▒x_i ^2))/(n(n-1))

S^2 = (∑_(i=1)^m▒〖n_i y_i^2 〗)/n -( 〖(∑_(i=1)^m▒〖n_i y_i 〗)/n)〗^2 = M(y^2)- [M(y)]^2 ………………..(+)

S^2 = (∑_(i=1)^m▒〖n_i y_i^2 〗- (∑_(i=1)^m▒〖h_i y_i 〗)^2)/(n-1) ………………….(++)

Ejemplo: usando las formulas de trabajo determinar la varianza para las frecuencias cardiacas de los 5 niños

Solución calculamos en una tabla todos los valores que necesitamos sustituir en la formula (+) o (++)

x_i x_i^2

127

129

130

132

132 16129

16641

19900

17424

17424

650 84518

Calcular de S^2 : primero se halla

M(x) = x ̅ = 650/5 = 130

M(x^2) = ∑ x_i^2 /n = 84518/5 = 16903.6

Luego aplicamos la formula

S^2=M(x^2 )-[M(X)]^2 = 16903.6 – 16900 =3.6

Calculo de S^2 : primero calculamos (∑▒x_i )

(∑▒x_i ) = 〖(650)〗^2 =422500

Luego se aplica la formula:

s^2 = 1/(n-1)(∑▒x_(i )^2 - ((∑▒x_(i)) )/n ) = 1/4 (84518 - 422500/5)

= 1/4(84518 – 84500) = 18/4= 4.5

Propiedades de la varianza

Propiedad: la varianza de un conjunto de observaciones x_1, x_2………., x_n siempre es un numero no negativo. Esto es

V(X) ≥ 0

PRUEBA V(x) = 1/(n-1) ∑▒〖(x_i 〗- (x)) ̅^2

Pero ( x_i- (x)) ̅^2 ≥ 0 ´para todo i y como n-1 >0, entonces:

V(x) = 1/(n-1) ∑_(i=1)^n▒〖〖(x〗_1- (x)) ̅^2 〗 ≥ 0

Propiedad: la varianza de una constante es cero. Esto significa que si x_1 = x_2= ………= x_n = b constante entonces

V(b) =0

Propiedad: si a cada observación x_1, x_2,………, x_n se adiciona (o resta) una constante b>0, la varianza del nuevo conjunto de valores y_1, y_2,………, y_n donde y_1= x_i ± b, i= 1,2,……., n coincide con la varianza del conjunto original es decir

V(y) = V(x± b)=V(x)

Propiedad: si cada valor de un conjunto x_1, x_2,………, x_n se multiplica por una constante a, la varianza de nuevo conjunto de valores y_1, y_2,………, y_n donde y= ax_1 i= 1,2….., n, es igual a la varianza del conjunto original multiplicada por el cuadrado de la constante es decir.

V(y) = a^2 V(x)

Nota: las propiedades 4.20 y 4.21 son casos especiales de la transformación lineal general.

y_(i=a x_i )+ b

Donde:

x_1 : son los valores observados

y_1 ; son los valores transformados

A Y B constantes

Entonces V(y) = V(ax± b)= a^2 V(x) o V(x) = 1/a^2 V(y)

Ejemplo: determinar la varianza del conjunto de observaciones x_1, x_2, x_3, x_4,x_5 a los cuales se les ha restado 4, obteniéndose el siguiente conjunto 3,0,2,4,1-

Solución:

y_1 y_1^2

0

1

2

3

4 0

1

4

9

16

10 30

V(y) = 1/(5-1) ∑_(i=1)^5▒y_1^2 --( (∑_(i=1)^5▒y_i )/5)

= 1/4 [30- 〖10〗^2/5] = 1/4 (30- 20)

= 10/4 = 2.5 = V(x)

Ejemplo: calcular la varianza del conjunto de observaciones x_1, x_2, x_3, x_4,x_5 los cuaes han sido divididos por 4, resultando 2.5, 1,2,3 y 1.5

Solución

y_1 y_1^2

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0 1.00

2.25

4.00

6.25

9.00

10.0 22.50

V(y) = 1/(5-1) ⌊∑_(i=1)^5▒〖y_i^2 - ∑_(i=1)^5▒y_1 ^2/5〗⌋ = 1/4 (2 .5 -20) = 2.5/4

Varianza calculada a partir de submuestras

Si (x_1 ) ̅ y (x_2 ) ̅ son las medias aritméticas de dos submuestras de tamaños n_1, y n_2, respectivamente y S_1^2, S_2^2 sus varianzas correspondientes. Entonces la varianza de la muestra de tamaño n= n_1,+ n_2 esta dado por

S^2 = ((n_(1 )-1) S_1^2+(n_(2 )-1) S_2^2+ n_(1 ) 〖((x_(1 ) ) ̅- (x)) ̅〗^2+ n_(2 ) 〖((x_(2 ) ) ̅- (x)) ̅〗^2 )/(n-1)

Donde : x ̅ = (n_1 x_1+ n_2 x_2)/n

En general, si se tiene k submuestras o estratos de tamaños n_1, n_2,……… n_k tales que ∑_(i=1)^k▒n_i = n; (x_1 ) ̅ (x_2 ) ̅ , ……… (x_k ) ̅ son las medias aritméticas S_1^2, S_(2,)^2 ………S_k^2 las varianzas de las k submuestras respectivamente, entonces la varianza de la muestra de tamaño n es

S^2= ∑_(I=1)^K▒〖(n〗_i -1) S_1^2 / n-1 + (∑_(i=1)^k▒〖n_i ((x_(i - (x)) ̅ ) ) ̅〗^2 )/(n-1)

Donde x ̅ = (∑_(i=1)^k▒〖n_i x ̅_i 〗)/n es la media aritmética general

Nota: cada submuestra o estrato tiene una media aritmética, una varianza y un número de observaciones que expresa la importancia de cada uno de estos estratos. En este caso a variabilidad total S^2 puede deberse tanto a a variabilidad dentro de cada estrato como a la variabilidad entre los estratos.

El estadigrafo que mide la variabilidad entre los estratos o submuestras, se llama intervarianza y esta definido por

S_b^2= (∑_(i=1)^k▒〖n_i (x ̅_i- x ̅)〗^2 )/(n-1)

El estadígrafo que mide la variabilidad dentro de los estratos, se llama intravarianza y esta definido por

S_b^2= (∑_(i=1)^k▒〖(n_i-1)S_1^2 〗)/(n-1)

Ejemplo: se clasifico a los trabajadores de una mina en dos categorías mayores y menores de 25 años, y se extrajo la siguiente información:

Números de obreros

n_i Productividad media

(x_i ) ̅ Varianzas

S_1^2

Mayores de 25 años 200 40 4900

Menores de 25 años 300 60 1600

Calcule la varianza de todos los obreros de la mina.

Solución

La varianza total esta dado por

S^2 = ((∑▒〖(n_█(i@ )-1) S_1^(2 )+ ∑▒〖n_(1 ) 〖(x_i-x ̅) 〗^2 〗〗)/(n-1)) ̅

Luego, primero debemos calcular x:

x ̅ = (∑_(i=1)^k▒〖n_i x ̅_i 〗)/n = (200(40)+300(60))/500 = 52

S^2 = (1 99(4900)+299(1600)+200 〖(40-52)〗^2+300〖(60-52)〗^2)/499 = 1501500/499 = 3009.02

Métodos abreviados de calculo de la varianza

Con la finalidad de reducir el volumen de operaciones en el calculo de la varianza para datos agrupados en clases, estableceremos métodos especiales usando las propiedades

Primer método abreviado

Se elige un origen de trabajo 0_i, que generalmente

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