Vectors En El Pla

VECTORS EN EL PLA.

EQUACIÓ VECTORIAL DE LA RECTA

1. VECTORS EN EL PLA

En un sistema d’eixos cartesians, cada punt es descriu mitjançant unes coordenades: A(1, 4), B(6, 6).

La fletxa que va de A a B s’anomena vector i es representa per AB. És el vector d’origen A i extrem B.

El mòdul d’un vector, AB, és la distància de A a B. Es designa així: | AB|. Si les coordenades de AB són (x, y), llavors | AB| = x + y

La direcció d’un vector és la de la recta en la qual es troba i la de totes les seves paral·leles.

Cada direcció admet dos sentits oposats. Per exemple, PQ i PR són vectors de sentits oposats.

Dos vectors són iguals quan tenen el mateix mòdul, la mateixa direcció i el mateix sentit. Dos vectors iguals tenenles mateixes coordenades.

El vector AB el podríem descriure així: des de A avancem 5 unitats en el sentit de les X i pugem 2 unitats en el sentit de les Y. Això es pot dir de manera més abreujada: Les coordenades de AB són (5, 2). O, encara millor, així:

AB = (5, 2). O, simplement, així: AB (5, 2). Les coordenades d’un vector s’obtenen restant les coordenades del seu origen a les del seu extrem:

B(6, 6), A(1, 4) AB = (6, 6) – (1, 4) = (5, 2)

Un vector és un segment orientat en el qual es poden diferenciar cinc parts:

Punt d’aplicació o origen. És el punt on comença el vector.

Mòdul. És la longitud del vector.

Extrem. És el punt on finalitza el vector.

Direcció. És la recta sobre la qual està situat el vector.

Sentit. El marca la punta de la fletxa i indica cap a on és el desplaçament.

Equipolència de vectors

Existeix un nombre infinit de vectors fixos, però n’hi ha uns quants que són molt semblants perquè tenen el mateix mòdul (longitud), la mateixa direcció (inclinació) i el mateix sentit (apunten cap al mateix lloc). L’única diferència és el seu origen, és a dir, el punt d’aplicació. Tots els vectors que compleixen aquestes característiques (igual mòdul, direcció i sentit) s’anomenen vectors equipolents.

Vectors lliures

Si d’un conjunt de vectors equipolents se n’escull un representant, aquest vector s’anomena vector lliure.

El vector escollit es representa per una lletra minúscula amb una fletxa a sobre. No importa quin en sigui el punt d’aplicació: com que representa qualsevol vector de la seva classe d’equipolència, es pot situar en qualsevol lloc.

Operacions amb vectors lliures

Suma.

Per sumar dos vectors cal situar l’origen del segon vector a l’extrem del primer i unir l’origen del primer i l’extrem del segon:

Aquest mètode per sumar vectors també s’anomena regla del paral·lelogram, ja que es forma un paral·lelogram en què els vectors sumands són els costats, i el vec- tor suma, una de les diagonals:

Com que la suma de dos vectors dóna un altre vector (no un nombre, ni un punt), es pot dir que és una operació interna. A més, té les següents propietats:

– Commutativa: u + v = v + u

– Associativa: (u+v)+w = u+(v +w)

– Existència d’element neutre. L’element neutre és un vector que sumat a qualsevol altre el deixa igual. És el vector O.

– Existència d’element oposat. L’element oposat d’un vector v és un vector que sumat a vdóna com a resultat l’element neutre. Es representa per −v.

Resta.

Com en el cas dels vectors fixos, per restar dos vectors lliures basta sumar al primer l’oposat del segon:

Multiplicació per un escalar.

Multiplicar un vector per un escalar (un nombre real) és el mateix que sumar aquest vector tantes vegades com indica el nombre. De la figura anterior podem calcular 3 ⋅ u i −2 ⋅ w:

Les propietats de la multiplicació d’un vector per un escalar són les següents:

Commutativa: ku = uk

Associativa respecte al producte d’escalars: (k ⋅ k )u = k (k u)

Distributiva respecte

...