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Para el caso de regresión, el modelo estadístico es como sigue: un modelo lineal predice el valor de una variable a través de otras que llamaremos factores mediante una función lineal de estos.1 Estos factores están determinados por el escenario donde observamos la variable a predecir, a la cual llamaremos variable endógena. Dada una muestra (aleatoria) (Y_{i},X_{{i1}},\ldots ,X_{{ip}}),\,i=1,\ldots ,n la relación entre las observaciones Yi y las variables independientes Xij se fórmula como

Y_{i}=\beta _{0}+\beta _{1}\phi _{1}(X_{{i1}})+\cdots +\beta _{p}\phi _{p}(X_{{ip}})+\varepsilon _{i}\qquad i=1,\ldots ,n

donde \phi _{1},\ldots ,\phi _{p} pueden ser funciones no lineales. En la ecuación anterior, las cantidades εi son variables aleatorias representando errores en la relación. La parte "lineal" se refiere a la apariencia de los coeficientes de regresión, βj en esta ecuación. Alternativamente, se puede decir que los valores ajustados correspondientes al anterior modelo, notados

{\hat {Y}}_{i}=\beta _{0}+\beta _{1}\phi _{1}(X_{{i1}})+\cdots +\beta _{p}\phi _{p}(X_{{ip}})\qquad (i=1,\ldots ,n),

son funciones lineales de los βj.

Dado que la estimación se toma en la base de un análisis de mínimos cuadrados, las estimaciones de los parámetros desconocidos βj se determinan al minimizar una función de suma de cuadrados

S=\sum _{{i=1}}^{n}\left(Y_{i}-\beta _{0}-\beta _{1}\phi _{1}(X_{{i1}})-\cdots -\beta _{p}\phi _{p}(X_{{ip}})\right)^{2}.

Por lo tanto, se puede ver que el aspecto "lineal" del modelo implica lo siguiente:

la función a ser minimizada es una función cuadrática de los βj para lo cual el problema de minimización es relativamente simple;

las derivadas de la función son funciones lineales de los βj haciendo fácil de encontrar los valores estimados que la minimizan;

los valores estimados de βj son funciones lineales de las observaciones Yi;

los valores estimados de βj son funciones lineales de los errores aleatorios εi lo cual hace relativamente fácil determinar sus propiedades estadísticas.

Algunas expresiones del modelo de regresión lineal[editar]

Modelos polinomiales[editar]

Los modelos lineales sirven para estimar modelos polinomiales. Por ejemplo, si las potencias de una variable explican la variable endógena, el modelo sería:

y=\beta _{1}+\beta _{2}\ x+\beta _{3}\ x^{2}+...+\beta _{p}\ x^{{p-1}}+\varepsilon

Modelos multinomiales[editar]

También podemos recurrir a los modelos lineales para estimar modelos multinomiales. Un ejemplo es el siguiente:

y=\beta _{1}+\beta _{2}\,x+\beta _{3}\,y+\beta _{4}\,x^{2}+\beta _{5}\,xy+\beta _{6}\,y^{2}+\varepsilon

Estimación del modelo[editar]

Para estimar el modelo, tenemos que observar el valor de la variable dependiente y de los factores en m casos. En este caso, las ecuaciones serán:

\left.{\begin{matrix}y_{1}=\beta _{1}x_{{11}}+\beta _{2}x_{{12}}+...+\beta _{n}x_{{1p}}+\varepsilon _{1}\\y_{2}=\beta _{1}x_{{21}}+\beta

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