Cónicas, características y como encontrarlas

Cónicas, características y como encontrarlas.

Diego Ernesto García Ramírez

¿Cuáles son las cónicas y por que se les llama así?

Las cónicas son curvas planas obtenidas mediante la intersección de un cono con un plano, de ahí es donde procede el nombre de cónicas. El ángulo que forman el plano y el eje del cono, comparado con el ángulo que forman el eje y la generatriz del cono determina las distintas clases de cónicas, este plano no debe pasar por el vértice (V).

La superficie cónica se obtiene haciendo rotar una recta denominada generatriz alrededor de un punto fijo llamado vértice manteniendo otro punto constantemente sobre una circunferencia llamada directriz situada en un plano perpendicular al eje y condicionada a que su centro esté sobre el eje.

[pic 1]

Existen cuatro tipos de cónicas, según el ángulo del plano que interseca con el cono y su base, estas cuatro cónicas son: circunferencia, elipse, parabala e hipérbola.

¿De qué manera se debe cortar un plano al cono, o conos según sea el caso para generar cada una de las cónicas? ¿Cómo se define cada una de las cónicas?

Circunferencia

[pic 2]

Una circunferencia es el lugar geométrico de un punto que se mueve en un plano de tal manera que se conserva siempre a una distancia constante de un punto fijo de ese plano.

[pic 3]

La circunferencia se obtiene de la intersección del cono con un plano paralelo a la base.

Elipse

[pic 4]

Una elipse es el lugar geométrico de un punto que se mueve en un plano de tal manera que la suma de sus distancias a dos puntos fijos de ese plano siempre es igual a una constante, mayor que la distancia entre los dos puntos. Los dos puntos fijos se llaman focos de la elipse.

[pic 5]

La elipse se obtiene de la intersección del cono con un plano oblicuo a la base y que no la corta en ningún momento.

Parábola

[pic 6]

Una parábola es el lugar geométrico de un punto que se mueve en un plano de tal manera que su distancia de una recta fija, situada en el plano, es siempre igual a su distancia de un punto fijo del plano y que no pertenece a la recta. El punto fijo se llama foco y la recta fija directriz de la parábola.

[pic 7]

La parábola se obtiene de la intersección del cono con un plano paralelo a su generatriz y que corta a la base.

Hipérbola

Una hipérbola es el lugar geométrico de los puntos del plano que cumplen la siguiente condición: el valor absoluto de la diferencia de las distancias desde un punto cualquiera de la hipérbola hasta dos puntos fijos (llamados focos) debe ser constante.[pic 8]

[pic 9]

La hipérbola se obtiene de la intersección de un cono recto y un plano cuyo ángulo es menor al de la generatriz del cono.

¿Qué opciones tiene GeoGebra para trazar las gráficas de las cónicas?

Circunferencia

• Si se tiene la ecuación de la circunferencia, basta con ingresarla al apartado de vista algebraica y nos generaría la gráfica de la circunferencia.
•  La opción de “Circunferencia (centro-punto)”, en la cual se da clic a un punto que será el centro de la circunferencia para después dar clic a otro punto el cual será la longitud del radio de la circunferencia, o al seleccionarla y dar un clic en el plano se genera un punto que será el centro de la circunferencia, el segundo clic generará otro punto que será la longitud del radio de la circunferencia.
•  La opción “Circunferencia: centro radio”, en esta opción si se le da clic a un punto que este en el plano este será el centro después nos pedirá la longitud del radio de la circunferencia y la generará automáticamente, si no existe un punto al dar clic en el plano se genera un punto que será el centro de la circunferencia para después pedirnos que ingresemos el radio de la misma.
• “Circunferencia por tres puntos”, esta opción nos pide que demos clic a tres puntos consecutivamente y nos generara una circunferencia que pasara por esos tres puntos.
• “Cónica por cinco puntos”, esta opción nos pide que demos clic a 5 puntos que en caso de estar ordenados de la forma correcta nos generara una circunferencia.

Elipse

• Si se tiene la ecuación de la elipse, basta con ingresarla al apartado de vista algebraica y nos generaría la gráfica.
• La opción “Elipse”, nos pide que seleccionemos primero dos puntos que serán los focos y después un tercero con el cual generara la gráfica de la elipse, en caso de no haber puntos en el plano, al seleccionar la opción e ir dando clic generara los puntos necesarios.
• “Cónica por cinco puntos”, esta opción nos pide que demos clic a 5 puntos que en caso de estar ordenados de la forma correcta nos generara una elipse.

Parábola

• Si se tiene la ecuación de la parábola, basta con ingresarla al apartado de vista algebraica y nos generaría la gráfica.
• La opción “Parábola” nos pide que demos clic en un punto el cual será el foco de la parábola, después nos pide que demos clic en una recta o segmento previamente creado el cual será la directriz de la parábola.
• “Cónica por cinco puntos”, esta opción nos pide que demos clic a 5 puntos que en caso de estar ordenados de la forma correcta nos generara una parábola.

Hipérbola

• Si se tiene la ecuación de la hipérbola, basta con ingresarla al apartado de vista algebraica y nos generaría la gráfica.
• La opción “Hipérbola”, nos pide que demos clic en dos puntos los cuales serán los focos de la hipérbola, después nos pide dar clic en un tercero, este punto será uno de los vértices de la hipérbola, si no se tienen puntos en el plano, al dar clic en la icono y empezar a dar clic en el plano, nos ira generando cada uno de los puntos mencionados conforme se da clic.
• “Cónica por cinco puntos”, esta opción nos pide que demos clic a 5 puntos que en caso de estar ordenados de la forma correcta nos generara una parábola.

Bibliografía

Fuentes:

Ing. Chong Arias – Ing. Cappello. CÓNICAS Y CUADRICAS. TALLER VERTICAL 3 DE MATEMÁTICA. http://matematica.frlp.utn.edu.ar/conicasycuadricas.pdf

Dr. Cecilio Tapia Ignacio. (2020). Cónicas. Universidad Autonoma del Estado de Hidalgo.  .

José Luis Alonso Borrego. Las Conicas Definiciones. Descartes 3D.

...