Ecuaciones de segundo grado.

Ecuaciones de segundo grado.

Una ecuación de segundo grado o ecuación cuadrática de una variable es una ecuación que tiene la forma de una suma algebraica de términos cuyo grado máximo es dos, es decir, una ecuación cuadrática puede ser representada por un polinomio de segundo grado o polinomio cuadrático. La expresión canónica general de una ecuación cuadrática de una variable es:

• Incógnita: La letra (o variable) que figura en la ecuación.

• Miembro: Es cada una de las dos expresiones algebraicas separadas por el signo "=".

• Término: Cada uno de los sumandos que componen los miembros de la ecuación.

• Grado: Es el mayor de los exponentes de las incógnitas, una vez realizadas todas las operaciones (reducir términos semejantes).

•

• Partes de una ecuación de segundo grado:

Donde x representa la variable y a, b y c son constantes; a es un coeficiente cuadrático (distinto de 0), b el coeficiente lineal y c es el término independiente. Este polinomio se puede representar mediante una gráfica de una función cuadrática o parábola. Esta representación gráfica es útil, porque la intersección de esta gráfica con el eje horizontal coincide con las soluciones de la ecuación (y dado que pueden existir dos, una o ninguna intersección, esos pueden ser los números de soluciones de la ecuación).

Toda ecuación cuadrática es aquella en la cual el exponente mayor de su incógnita sea el número 2, ahora las ecuaciones cuadráticas se dividen en dos que son:

• Ecuaciones Completas: son aquellas de la forma ax*2+bx+c= 0 donde ax*2 es el termino cuadratico, bx es el termino lineal (de primer grado) y c es el termino independiente.

• Ecuaciones Incompletas: son aquellas que carecen del termino lineal o del termino independiente, pero nunca del termino cuadrático ya que si lo hicieran dejarían de ser cuadráticas, estas ecuaciones son del tipo ax*2+bx=0 y ax*2+c=0.

Ejemplos completas:

Una ecuación de segundo grado es completa cuando los tres coeficientes a, b, y c son distintos de cero.

3x*2+5x+4=0

x*2+8x+12=0

x*2+15x=4 (ya que si cambiamos al 4 al otro miembro quedaría x*2+15x-4=0).

Incompletas:

Una ecuación de segundo grado es incompleta cuando los términos b o c, o ambos, son cero.

5x*2+4x=0 (de la forma ax*2+bx=0)

7x*2+2=0 (de la forma ax*2+c=0)

8x*2=5 (ya que al hacer los cambios queda 8x*2-5=0, que es incompleta de la forma ax*2+c=0)

• Métodos de solución de ecuaciones de segundo grado.

 Solución por factorización.

En toda ecuación cuadrática uno de sus miembros es un polinomio de segundo grado y el otro es cero; entonces, cuando el polinomio de segundo grado pueda factorizarse, tenemos que convertirlo en un producto de binomios.

Obtenido el producto de binomios, debemos buscar el valor de x de cada uno.

Para hacerlo igualamos a cero cada factor y se despeja para la variable. Igualamos a cero ya que sabemos que si un producto es igual a cero, uno de sus multiplicandos, o ambos, es igual a cero.

Ejemplo:

(x + 3)(2x − 1) = 9

 Solución por completación de cuadrados.

Se llama método de la completación de cuadrados porque se puede completar un cuadrado geométricamente, y porque en la ecuación cuadrática se pueden realizar operaciones algebraicas que la transforman en una ecuación del tipo:

(ax + b)2 = n

En la cual el primer miembro de la ecuación (ax + b)2,

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