Modelos de ecuaciones de segundo grado

Cuaderno 3

Modelos de ecuaciones de segundo grado

Introducción

En este cuaderno se trabajará con ecuaciones de segundo grado con una incógnita; es decir, con aquellas ecuaciones que después de haber realizado las simplificaciones adecuadas, poseen 2 como mayor exponente de la incógnita.

En primera instancia se resolverán algunas ecuaciones como paso necesario para posteriormente, resolver problemas de aplicación en los negocios utilizando este tipo de ecuaciones.

Problemas con ecuaciones de segundo grado

1. Suponga que el ingreso semanal “r” de  una compañía está dado por la ecuación siguiente:

r=-2p2+400p

En la ecuación anterior “p” es el precio del producto que vende la compañía.

Determine el precio del producto si el ingreso semanal es de $20,000.

Solución:

20,000 = -2p^2 + 400p
0 = -2p^2 + 400p – 20,000
Formula para resolver:

(-b +- raíz (b2 - 4ac)) / (2a)
donde
a = -2
b= 400
c= 20 000

=-400+-raíz 400^2-4(-2) (20000)/2(-2)

=-400+-raiz16000-160000/-4

=-400/-4=100

 p = 100
Sustitución:
20000 = -2. 100^2 + 400. 100

1. Un inversionista compró cierto número de acciones por $240.00 Si hubiera comprado tres acciones más por el mismo dinero, cada acción le hubiera costado $4.00 menos. Determine el número de acciones que compró y el precio de las mismas.

Numero de acciones=X

Precio por unidad=Y

"Un inversionista compró cierto número de acciones por $240.00"
xy = 240 ------> (A)
Si hubiera comprado 3 acciones más (x+3) por el mismo dinero, cada acción le hubiera costado $4.00 menos (y-4):
(x+3)(y-4) = 240 --------> (B)
Despejamos 'y' en (A):
y = 240/x ------> (C)
y sustituimos C en B
(x+3)[(240/x)-4] = 240
(x+3)(240/x - 4) = 240 -4x + 720/x -12 = 240
-4x +720/x = 240 - 240 +12
-4x +720/x = 12
(-4x +720/x = 12) / -4 -----> x - 180/x = -3
(x - 180/x = -3)(x) = x² - 180 = -3x
x² +3x -180 = 0
Factor izando:
(x + 15)(x - 12) = 0
x = -15 (No aplican ya que no podemos tener un número negativo de acciones) 
x = 12 ---------------> (D)
Sustituimos (D) en (A):
12y = 240
y = 240/12 = 20

Respuesta:

Numero de acciones x=12
Precio por unidad y=20

1. Se desea invertir $8,000.00 a una cierta tasa de interés durante un año. Al final del año se desea reinvertir el capital y los intereses producidos, a una tasa igual a la primera más un punto. Con esta nueva inversión se va a obtener una renta anual de $1,793.60. Calcule la tasa inicial.

Solución:

1) 8000 a una tasa durante un año=8000*(1+i)= X
2) Al final del primer año se reinvierte el monto "X" obtenido, a una tasa superior a la anterior en un punto; que te deja una renta de $ 1793.60.
=8.000 * (1 + i)*(1+i) + {[8.000 * (1 + i) * 0.01] - 8.000 * (1 + i)} = 1793.60,
= 8000 * (1 + i) * (1 + i)=8.000 *(1 + i)²

Sustitución:

 (1+i) por x para obtener el  factor común:
8000 x² + [(8000*x*0.01) - 8000 x] = 1793.60,
8000 x² + 8000*0.01*x - 8000x = 1793.60 factor común 8000
8000 (x² + 0.01x - x = 1793.60 se pasa  8000 al 2do miembro
x² - 0,99x = 1793.60/8000 = 0.2242, A las x las restamos=0.99x y nos queda una ecuación de 2 do grado:

x² - 0.99x = 1793.60 ;
x² - 0.99x - 0.2242 = 0 se paso 0.2242 al primer miembro y se aplica  la fórmula cuadrática;
(-(-0.99) ± ((0.99)² - (4* 1* -0.2242))½)2 = (0.99 ± ((0.9801 + 0.8968)½)/2= (0.99 ±(1.8769)½)/2=
= (0.99 ± 1.370)/2 = x1= (0.99+ 1.37)/2 = 2.36/2 = 1.18
x2 = (0.99 -1.37)/2 = -0.38/2= -0.19

Respuesta:
x1 es el valor de (1 +i) correspondiente al primer año, con una tasa del 18% anual y el siguiente será el 19%. 
Comprobación:

 (1+ i) por sus correspondientes 1.18 y 1.19 respectivamente.:
MONTO DEL PRIMER ANO:
8000 * (1.18) = 9.440
MONTO DEL 2DO AÑO:
9440 * 1.19 = 11.233.60
= 11.233.60 - 9440= 1793.60
FORMULA CAPITAL INICIAL POR TASA DE INTERES:
=9440 * 0.19 = 1793.60

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