ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO - CONICAS

ÁREA DE MATEMÁTICAS

A continuación se da una breve explicación de los temas representativos que deberás estudiar en tus Cuadernos de Actividades de Consolidación y Retroalimentación de Matemáticas I, II, III y IV. Con esta explicación y los ejemplos desarrollados, estarás preparado para poder contestar las preguntas de matemáticas tanto en tu Guía de Estudio como en tu Examen Global.

1.1 ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO

Una expresión de la forma ax² + bx + c = 0 es una ecuación de segundo grado porque su mayor exponente es 2 y su solución puede obtenerse mediante procesos algebraicos: factorización y fórmula general. Una ecuación de segundo grado tiene como máximo dos soluciones reales.

En la ecuación de segundo grado ax² + bx + c = 0, las constantes a, b y c son valores numéricos reales que pertenecen a la ecuación, el valor a es diferente de cero y corresponde al término cuadrático (ax²), el valor b corresponde al término lineal (bx) y el valor c al término independiente.

SOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN CUADRÁTICA APLICANDO LA FÓRMULA GENERAL

La fórmula general es una fórmula universal que se aplica para encontrar la solución (x1 y x2) de una ecuación de segundo grado o cuadrática ax² + bx + c = 0.

Para obtener la solución de una ecuación de segundo grado, se sustituyen los valores numéricos a, b y c en la fórmula general y se realizan las operaciones correspondientes.

1. Resolver la ecuación,

- Solución: Los coeficientes de la ecuación, son: a = 1 , b = 6 y c = 8

- Se sustituyen los valores de los coeficientes en la fórmula general y se realizan las operaciones correspondientes para obtener el valor de las raíces o solución de la ecuación.

2. Resolver la ecuación,

- Solución: Los coeficientes de la ecuación, son: a = 3 , b = 2 y c = 1

- Se sustituyen los valores de los coeficientes en la fórmula general y se realizan las operaciones correspondientes para obtener el valor de las raíces o solución de la ecuación.

1.2 TRIÁNGULOS OBLICUÁNGULOS: LEY DE SENOS Y COSENOS

Uno de los temas de Trigonometría es la solución de triángulos. En la solución de los triángulos rectángulos se utilizan las funciones trigonométricas y el teorema de Pitágoras, en la solución de los triángulos oblicuángulos se utilizan dos leyes: la ley de senos y la ley de cosenos.

En un triángulo cualquiera, sus medidas importantes son las longitudes de sus lados y las medidas de sus ángulos. En su forma más general, el problema de resolver un triángulo consiste en determinar las tres medidas desconocidas cuando se conocen tres. Los casos que puede presentar la solución de un triángulo oblicuángulo, son los siguientes.

Caso 1. Cuando se conocen dos ángulos y un lado del triángulo.

Caso 2. Cuando se conocen dos lados y un ángulo del triángulo.

Caso 3. Cuando se conocen los tres lados del triángulo.

Para el caso 1 se aplica la ley de senos y para los casos 2 y 3 se aplica la ley de cosenos.

LEY DE SENOS

La ley de senos se utiliza cuando se conocen dos ángulos y uno de los lados opuestos a uno de los ángulos conocidos. La ley dice que los lados de un triángulo oblicuángulo son proporcionales a los senos de sus ángulos opuestos.

LEY DE COSENOS

La ley de cosenos se utiliza cuando se conocen dos lados del triángulo y el ángulo que los forma; también se utiliza cuando se conocen los tres lados del triángulo. La ley dice que en todo triángulo oblicuángulo el coseno de un ángulo es igual a la suma de los cuadrados de los lados que forman el ángulo, menos el cuadrado del lado opuesto todo dividido entre el doble producto de los lados del ángulo.

a2 = b2 + c2 – 2bc Cos A 

b2 = a2 + c2 – 2ac Cos B 

c2 = a2 + b2 – 2ab Cos C 

1. Resolver el siguiente problema mediante la ley de senos.

Dos observadores situados a 2 Km de distancia el uno del otro sobre el mismo plano horizontal, encuentran en el mismo instante que los ángulos de elevación de un avión son 62° y 48° respectivamente. De acuerdo con esto, ¿cuál es la distancia que separa al avión de cada observador en ese instante de la observación?

- Solución: Se obtiene el valor del 3er ángulo del triángulo: 62° + 48° + C = 180°  C = 70°

- Se aplica la ley de los senos para obtener la distancia a y b de los observadores.

- Se realizan operaciones y se obtiene la distancia a.

 a = 1.88 km

- Se realizan operaciones y se obtiene la distancia b.

 b = 1.58 km

Con los resultados obtenidos, se establece que la distancia que separa a cada observador con el avión es de 1.58 y 1.88 km respectivamente.

2. Resolver el siguiente problema mediante la ley de cosenos.

Dos trenes parten de una estación a las 10:00 a.m., viajando a lo largo de vías rectas, a 120 y 150 km/hr, respectivamente. Si el ángulo entre sus direcciones de viaje es 118º, entonces ¿a qué distancia están entre sí a las 10:40 a.m.?

- Solución: Se encuentra la distancia que ha recorrido cada tren. De las 10:00 a.m. a las 10:40 a.m. los trenes han recorrido 2/3 de hora (40 minutos).

El tren que viaja a 120 km/hr, ha recorrido:

El tren que viaja a 150 km/hr, ha recorrido:

- Se aplica la ley de los cosenos para obtener la distancia c entre los trenes.

c2 = (100 km)2 + (80 km)2 – 2(100 km)(80 km) Cos (118°)

- Se realizan operaciones y se obtiene la distancia c.

c2 = 10000 km2 + 6400 km2 – 16000 km2 (–0.46947)

c =

c =  c = 154.6 km

Con el resultado obtenido, se establece que la distancia entre los trenes es de 154.6 km a las 10:40 a.m.

3. Resolver el siguiente problema mediante la ley de cosenos.

Se tiene un círculo de 10 cm de radio y una cuerda que tiene 15 cm de longitud. De acuerdo con esto, ¿cuál es la medida del ángulo en el centro del círculo, subtendido por la cuerda?

- Solución: Se aplica la ley de los cosenos para obtener el ángulo “C” del triángulo correspondiente al centro del círculo subtendido por la cuerda.

- Se realizan operaciones y se obtiene la distancia c.

 C = 97.18° ó 97°10’48”

Con el resultado obtenido, se establece que el ángulo en el centro del círculo subtendido por la cuerda es de 97.18°

4. Resolver el siguiente problema mediante la ley de cosenos.

Tres circunferencias cuyos radios respectivos miden 20, 16 y 18 m, son tangentes exteriores entre sí. De acuerdo con esto, ¿cuánto mide cada ángulo que se forma cuando se unen los centros de las circunferencias?

- Solución: Se aplica la ley de los cosenos para obtener los ángulos A, B y C del triángulo formado por los radios de las tres circunferencias.

 A = Cos–1(0.5789)  A = 54.62° ó 54°37’12”

 B = Cos–1(0.5046)  B = 59.69° ó 59°41’24”

 C = Cos–1(0.4117)  C = 65.68° ó 65°40’48”

Con los resultados obtenidos, se establece que los ángulos formados por los centros de las tres circunferencias, miden 54.62°, 59.69° y 65.68° respectivamente.

1.2 SECCIONES CÓNICAS

Las circunferencias, parábolas, elipses e hipérbolas son curvas que se obtienen al cortar un cono con un plano. La curva que se obtiene en cada corte depende de la inclinación del plano y a estas curvas se les llaman secciones cónicas.

Las cónicas son curvas muy importantes, pues aparecen en muchos fenómenos: cuando se lanza una pelota, ésta sigue una trayectoria parabólica al igual que cualquier proyectil en vuelo, un cohete, una piedra o el atleta que salta a una altura determinada; los reflectores de los estudios de televisión, los faros de un coche, los telescopios y algunas antenas tienen la forma de un plato parabólico. Los planetas siguen una trayectoria elíptica en su viaje alrededor del Sol y la mayoría de los cometas cruzan el sistema solar en órbitas hiperbólicas cuando solo podemos verlos una vez; los cometas que regresan regularmente tienen órbitas elípticas.

Las curvas cónicas (circunferencia, parábola, elipse e hipérbola) son lugares geométricos que se pueden representar en el plano cartesiano y están descritas por ecuaciones algebraicas estandarizadas.

La circunferencia es el lugar geométrico del conjunto de puntos equidistantes a un punto fijo llamado centro.

La parábola es el lugar geométrico

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