Interpolación numérica

MÉTODOS NUMÉRICOS

1. Se puede demostrar que para el flujo isoentrópico de un gas perfecto que partiendo de un depósito pasa a través de una tobera convergente divergente, operando a la velocidad del sonido a través de la garganta de la tobera, se verifica:

Donde  es la presión en un punto en el que la sección transversal tiene una superficie ; es la presión del depósito;  es el área de la sección transversal de la garganta; y  es el coeficiente adiabático.[pic 6][pic 1][pic 2][pic 3][pic 4][pic 5]

Encuentre el valor de , cuando , ,  y .[pic 7][pic 8][pic 9][pic 10][pic 11]

1. Debemos construir una lata con una capacidad de 1000cm3 y forma de cilindro circular recto. Los radios de las tapas de ambas bases deben tener 0.25cm más que el radio de la base, de manera que el exceso pueda usarse para sellar la lata. La hoja del material que forma la superficie lateral debe exceder en 0.25cm el perímetro de la lata para que también pueda sellarse lateralmente. Determina, con una precisión de 10-4, la mínima cantidad de material necesaria para construir la lata.

1. Con base al trabajo de Frank Kamenetski realizado en 1995, las temperaturas en el interior de un material con fuentes de calor incrustada pueden determinarse si se resuelve la siguiente ecuación:[pic 12]

[pic 13]

        Dado que: , encuentre T(°C).[pic 14]

1. Una esfera de densidad  y radio  pesa . El volumen de un fragmento esférico es . Como una fracción del radio de la esfera, encuentre la profundidad en la que una esfera de densidad 0.6 se hunde en el agua.[pic 15][pic 16][pic 17][pic 18]

SOLUCIÓN

1. Hallar P:

• Despejando:                 [pic 19]

• Reemplazando valores:        [pic 20]

• Gráfica aproximada:[pic 21]

• Con ayuda del método de la Bisección determinaremos una raíz aproximada; cuyo error relativo aproximado será menor de 10-4. Partiremos con  y .[pic 22][pic 23]

∴ Con 9 iteraciones se puede encontrar una raíz aproximada con un error menor a 10-4:                                                                                         [pic 24]

1. Determina, con una precisión de 10-4, la mínima cantidad de material necesaria para construir la lata:

[pic 25]

• Datos iniciales:[pic 26]

[pic 27]

• Derivando con respecto a R:

[pic 28]

• Para determinar mínimos: [pic 29]

[pic 30]

• Utilizando el método de Newton-Raphson con . [pic 31]

• Iteraremos con: [pic 32]

• [pic 33]

• [pic 34]

∴Con 3 iteraciones tenemos que la raíz aproximada Ra es 5.36385788cm con un error menor a 10-4.

• La cantidad mínima de material necesaria para construir la lata es:

[pic 35]

1. Encuentre T(°C):

Despejando:[pic 36][pic 37]

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