Relaciones integrales para un volumen de control

Relaciones integrales para un volumen de control

Motivación. El movimiento de un fluido puede analizarse desde dos puntos de vista: (1) realizando una descripción detallada del flujo en cada punto (x, y, z) del campo fluido o (2) trabajando con una región finita del espacio, realizando un balance entre el fluido que entra y que sale de ella, y determinando los efectos netos, como la fuerza o el momento sobre un cuerpo o el cambio de energía total.

Leyes básicas de la mecánica de fluidos

1. Volumen de control, o análisis integral a gran escala.

2. Diferencial, o análisis a pequeña escala.

3. Experimental, o análisis dimensional.

Sistemas frente a volúmenes de control

Todas las leyes de la mecánica están escritas para sistemas, que se definen como cantidades arbitrarias de masa de identidad fija.

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Flujo volumétrico y flujo másico

En todos los análisis de este capítulo es necesario evaluar el flujo volumétrico o caudal Q o el flujo másico m que atraviesa una superficie definida en el flujo.

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Teorema del transporte de Reynolds

Para convertir el análisis de un sistema en el análisis de un volumen de control debemos utilizar nuestras matemáticas para poder aplicar las leyes básicas a regiones específicas en lugar de a masas concretas. Esta conversión se consigue mediante el llamado teorema del transporte de Reynolds y se puede aplicar a todas las leyes básicas.

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Volumen de control fijo unidimensional

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Volumen de control fijo arbitrario

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La forma compacta del teorema del transporte de Reynolds es:

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Volumen de control moviéndose a velocidad constante

Si el volumen de control se mueve con velocidad uniforme Vs, un observador fijo al volumen de control verá al fluido atravesar la superficie de control con una velocidad relativa Vr, definida por:

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Volumen de control de forma constante para velocidad variable

Si el volumen de control se mueve con una velocidad Vs(t), pero conservando su forma, los elementos de volumen no cambiarán con el tiempo, aunque la velocidad relativa Vr = V(r, t) – Vs(t) queda algo más complicada.

Volumen de control con deformación y movimiento arbitrarios

La situación más general se presenta cuando el volumen de control se mueve y deforma arbitrariamente.

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Aproximaciones unidimensionales al término de flujo

En muchas aplicaciones, el flujo que atraviesa la superficie de control en ciertas entradas y salidas es aproximadamente unidimensional; esto es, las propiedades del flujo son casi uniformes a través de las secciones transversales de entrada y salida.

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Conservación de la Masa

El Teorema del transporte de Reynolds establece una relación entre las variaciones temporales del sistema y las integrales de volumen y de superficie del volumen de control. Pero las derivadas de las propiedades del sistema están dadas por las leyes básicas de la mecánica.

Flujo incompresible

Las ecuaciones pueden simplificarse aún más en el caso incompresible, lo que equivale a despreciar las variaciones de densidad en la ecuación de conservación de la masa. Todos los líquidos son prácticamente incompresibles, y los flujos de gases se comportan a veces como si lo fueran, particularmente si la velocidad del gas es menor que alrededor del 30 por 100 de la del sonido.

Aunque un análisis determinado pueda referirse a fuerzas, momentos o energía, siempre se debe comprobar, como parte de este análisis, el balance de masas; si no se cumpliese, los resultados no serían realistas y probablemente estarían equivocados.

Conservación de la Cantidad de Movimiento

En la segunda ley de Newton la propiedad que se derivaba era la cantidad de movimiento mV. Por tanto, la variable muda es B = mV y β = dB/dm = V, y la aplicación del teorema del transporte de Reynolds proporciona la ecuación de cantidad de movimiento para un volumen de control deformable.

Debemos hacer especial énfasis en los siguientes puntos que conciernen a esta relación:

1. El término V es la velocidad del fluido respecto a un sistema de coordenadas inercial (sin aceleración). En otro caso, la ley de Newton debe ser modificada para incluir los términos de aceleración no inerciales (véase el final de esta sección)

2. El término F es el vector suma de todas las fuerzas que actúan sobre el volumen de control material considerado como cuerpo libre; esto es, incluye todas las fuerzas de superficie ejercidas por todos los fluidos y sólidos cortados por la superficie de control más todas las fuerzas de volumen (gravitatorias y electromagnéticas) que actúan sobre las masas contenidas en el volumen de control.

3. La ecuación completa es una relación vectorial. Ambas integrales son vectores debido al término V de los integrandos.

Flujo unidimensional de cantidad de movimiento

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Resultante de las fuerzas de presión sobre una superficie de control cerrada

En términos generales, se puede decir que las fuerzas de superficie sobre un volumen de control se deben a (1) fuerzas que aparecen en el corte de cuerpos sólidos que penetran a través de la superficie de control, y (2) fuerzas debidas a presión y viscosidad en el fluido del contorno.

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Condición de presión a la salida de un chorro

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