PRÁCTICA 1 RELACIÓN MASA VOLUMEN

PRÁCTICA  1

RELACIÓN MASA VOLUMEN

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OBJETIVOS

• Obtener el valor de la densidad de un material dado, usando la regresión lineal.

•  Introducir el método de cuadrados mínimos en la determinación de ecuaciones empíricas.
• Mediante el cálculo del factor de correlación, analizar la confiabilidad inicial del modelo matemático obtenido de la regresión lineal; en base a esto, tomar la decisión de aceptar o no el valor de la densidad determinada por este método.

INTRODUCCIÓN

DENSIDAD.- La densidad de un material homogéneo o no, queda definida por la siguiente relación entre los parámetros masa y volumen.

[pic 2]         ………..   (1)

Lo cual nos lleva a:                         [pic 3]        

Y al integrar en forma indefinida nos lleva a la expresión siguiente

V = m/ρ + C     ………..  (2)

Esta ecuación es la forma analítica que relaciona a las variables que definen a la densidad, posteriormente procederemos a obtener la ecuación experimental o empírica de esta misma correlación de parámetros físicos.

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Figura 1.1. Esta imagen muestra una bola de marfil flotando en mercurio.

CUADRADOS MÍNIMOS.- A continuación, se describe el procedimiento de ajuste de los datos experimentales a una línea recta y es denominado también método de “Mínimos Cuadrados”. Este se usara en el laboratorio en varias situaciones, por ejemplo.

• Para calcular la densidad de un material dado
• Para calcular la velocidad en una experiencia de movimiento rectilíneo uniforme
• Para calcular la aceleración de la gravedad utilizando un péndulo simple
• Para calcular la aceleración de un objeto bajando por un plano inclinado y el valor de su posición inicial en un movimiento rectilíneo uniformemente acelerado
• Para determinar la constante de proporcionalidad entre la presión y la profundidad en el seno de un líquido.
• etc.

Tal método nos ayuda matemáticamente a determinar los valores de:

• La pendiente a de la recta de regresión
• La ordenada en el origen b 
• El índice de correlación r. Este índice mide el grado de ajuste de los datos experimentales a la recta ideal.

Descripción del método.- Supongamos que estamos midiendo la posición de un móvil en función del tiempo en un movimiento rectilíneo uniforme. Si en el móvil la fuerza neta o resultante es nula. Esperamos que la relación entre la posición x del móvil y el tiempo t sea lineal: x= x0 + v t.  Donde x0 es la posición del móvil en el instante t=0.

[pic 5]        [pic 6]

Fig. 1.2 Movimiento lineal

Si medimos las posiciones del móvil x1 y x2 en los instantes correspondientes t1 y t2, obtenemos un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas,

x1 = v t1 + x0

x2 = v t2 + x0

de las que podemos determinar las cantidades desconocidas x0 (posición inicial) y v (la velocidad). Ahora bien, esta afirmación solamente es cierta en un experimento ideal libre de errores.

Al efectuar n medidas de la posición del móvil, el aspecto de la representación gráfica de nuestras medidas puede ser parecido al de la figura 1.3 mostrada más abajo, los puntos marcados como “+”, representan los datos experimentales. La correlación entre las ordenadas y y las abscisas x de dichos puntos es solamente aproximada, debido a los errores de cada una de las medidas. Es decir por tratarse de un experimento real, los puntos experimentales no quedan exactamente a lo largo de una recta, sino que presentan una dispersión a lo largo de ésta.

Si tomáramos únicamente dos puntos para definir la recta, el resultado tendría un importante error. Por tanto, para una mejor estimación de la recta y de las magnitudes buscadas (x0 y v); se deberán utilizar las n medidas tomadas.

Supongamos que tenemos dos magnitudes físicas (x, y) relacionadas entre si y que han sido previamente medidas en forma experimental. Consideremos que la relación entre ambas variables es una función lineal de la forma y = a x + b   que no es más que una recta ideal de pendiente a y cuya ordenada en el origen es b.

 Las desviaciones o errores “ε”  de los valores  experimentales de  y, véase la figura 1.3, serán: [pic 7]

ε1=y1-(ax1+b)

ε2=y2-(ax2+b) 

...................

εi=yi-(axi+b) [pic 8]

...................

εn=yn-(axn+b) 

Fig. 1.3 Datos experimentales con tendencia lineal.

Sea E(a,b) la suma de los cuadrados de todas estas desviaciones

E(a,b)=(y1-ax1-b)2+(y2-ax2-b)2+...(yi-axi-b)2+...+(yn-axn-b)2

[pic 9]

Los valores que minimizan la función: E(a,b) son aquellos para los que se cumplen las siguientes condiciones

[pic 10]

Es decir:     [pic 11]        y       [pic 12]         

de donde se obtienen las ecuaciones correspondientes:

[pic 13]        y        [pic 14]

Correspondientes a un sistema de dos ecuaciones  con dos incógnitas “a” y “b” cuya solución es:

[pic 15]          ……..    (3)

El coeficiente de correlación “r”, es otro parámetro para el estudio de una distribución bidimensional, que nos indica el grado de dependencia entre las variables: x e y.

 El coeficiente de correlación r es un número que se obtiene mediante la fórmula.

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donde   < x >     y    < y >  son los valores medios de los conjuntos de datos experimentales tanto para la variable x como para la y. Estos valores se calculan sumando todos los valores de la variable en estudio y dividiendo la suma entre el número de datos.

El coeficiente de correlación puede tomar cualquier valor comprendido entre  -1   y  +1.

• Cuando r = 1, la correlación lineal es perfecta, También llamada directa.
• Cuando r = -1, la correlación lineal es perfecta, inversa
•  Cuando r = 0, no existe correlación alguna, y por tanto existe independencia total                                               de los valores x e y 

Con todo lo anterior, ya tenemos las bases para obtener la ecuación empírica de un conjunto de datos cuya gráfica tiene una tendencia lineal.

MATERIAL EMPLEADO

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