VARIABLE ALEATORIA, ESPACIO MUESTRAL, TÉCNICAS DE CONTEO

1. VARIABLE ALEATORIA, ESPACIO MUESTRAL, TÉCNICAS DE CONTEO

1.1. VARIABLE ALEATORIA

Dado un experimento aleatorio cualquiera cuyos

sucesos elementales posibles pueden identificarse

fácilmente mediante un número real, se

denomina Variable Aleatoria, X, al conjunto de estos

números.

También se le llama variable de azar o variable

estocástica, y significa cantidad que puede tomar

varios valores imprevistos.

Ejemplo 1.- Sea el experimento aleatorio de lanzar

un dado al aire. Los posibles resultados del

experimento (sucesos elementales) son los

siguientes: <<que salga 1>>, <<que salga 2>>,

<<que salga 3>>, <<que salga 4>>, <<que salga 5>>

y <<que salga 6>>. Resulta sencillo asociar a cada

suceso elemental el número correspondiente a la

cara del dado que haya salido. Por tanto, la variable

aleatoria, X, será:

X= 1,2,3,4,5,6

Por el contrario, si dado un experimento aleatorio

cualquiera no resulta inmediata la asociación de un

número para cada uno de los posibles sucesos

elementales, se establece una correspondencia entre

el conjunto de los posibles sucesos elementales y el

conjunto de los números reales, de manera que a

cada suceso elemental le corresponda un número

real arbitrario y que a sucesos elementales distintos

les correspondan números distintos.

Se denomina variable aleatoria al conjunto imagen

de esta correspondencia, es decir, al conjunto de los

números reales que se hayan hecho corresponder a

cada uno de los sucesos elementales.

Ejemplo 2.- Sea el experimento aleatorio de

averiguar la marca de tabaco que preferirá un

individuo entre las posibles marcas: <<X>>, <<Y>>,

<<Z>>.

En este caso la asociación de un número para cada

suceso elemental posible del experimento no es

inmediata. En consecuencia, se establece una

correspondencia entre el conjunto de los sucesos

elementales posibles y el conjunto de los números

reales, del modo siguiente:

Al suceso elemental <<preferir la marca X>> se le

hace corresponder el número 1; al suceso elemental

<<preferir la marca Y>> se le hace corresponder el

número 2; al suceso elemental <<preferir la marca

Z>> se le hace corresponder el número 3.

La variable aleatoria X será: X = (1,2,3).

El número asociado a cada suceso elemental puede

ser cualquiera dentro del conjunto de los números

reales, con la condición única de que a sucesos

elementales distintos le correspondan números

también distintos. Se comprueba fácilmente que la

correspondencia así definida entre el conjunto de los

posibles sucesos elementales de un experimento

aleatorio y el conjunto de los números reales es una

aplicación inyectiva.

1.1.1. Clasificación de las variables aleatorias.

Las variables aleatorias pueden ser continuas o

discontinuas. En este último caso se denominan

también discretas.

1.1.1.1. Variable aleatoria continua. Si X es

una Variable aleatoria continua, puede tomar

cualquier valor de un intervalo continuo o dentro de

un campo de variación dado. Las probabilidades de

que ocurra un valor dado x están dadas por una

función de densidad de probabilidad de que X quede

entre a y b. El área total bajo la curva es 1.

Ejemplo. Sea el experimento aleatorio consistente

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