“límites de una función”

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Límites

David Ricardo Gonzales Peña 

Guido Gustavo García Talledo

Max José Ciro Cavero Ortega

Vivian Julissa Ruiz Lizano

Universidad de Piura

 Mg. Javier Farfán Navarro, Facultad de Ciencias Económicas y Empresariales, Universidad de Piura

La correspondencia con este proyecto debe ser dirigida a Javier Farfán Navarro

Facultad de Ciencias Económicas y Empresariales, Universidad de Piura, Av. Ramón Mugica 131. Piura

Contacto: david.20229@hotmail.com

Dedicatoria 

     La vida se encuentra llena de muchos retos, y uno de ellos es la universidad. Somos un grupo de futuros economistas que nos desempeñamos en la base de nuestros conocimientos, no solo para el campo del entendimiento si no para nuestro futuro.

Les agradecemos a la Universidad De Piura y a nuestros maestros pues gracias a ellos y a sus esfuerzos finalmente pudiéramos graduarnos como unos competentes profesionales.

Tabla de Contenidos

Introducción………………………………………………….......... 4

Definición de Límite………………………………………………...5

Propiedades de límites……………………………………………….7

       Otras propiedades de límites…………………………………   8

Límites Finitos……………………………………………………...10

Límites Laterales…………………………………………………….10

Límites Infinitos…………………………………………………….11

Límites en el Infinito…………………………………………………12

Límites indeterminados………………………………………………12

Límites por factorización……………………………………………..13

Continuidad de un Límite…………………………………………….15

   Propiedades de funciones continuas………………………………16

Aplicación Económica de Límites……………………………………17

Conclusiones…………………………………………………………19

Problemas propuestos…………………………………………………20

Introducción

Para una función, uno de sus análisis bases es el estudio de su continuidad, convergencia y los posibles valores en los que ésta no exista. Por lo tanto, es importante el estudio de la función en entornos reducidos de estos valores dentro de un plano, observando a su vez el comportamiento de la misma, siendo esto a lo que llamamos “límites de una función”.

En economía, determinar el comportamiento de ciertas variantes, ya sean demanda, oferta, etc. Nos permiten obtener el resultado “limite” cuando se quiere la aproximación de una variable a una cantidad máxima.

Aunque parezca ser que límites sea un tema sin relevancia, la verdad es que tiene varias aplicaciones y gran utilidad en la vida real, como calcular una ganancia máxima, o definir la repentina subida de precio de algún producto, si hablamos en conceptos económicos; o hasta en el caso más cotidiano, ya sea la elaboración de una tarta, sabemos que los ingredientes necesarios tienen un límite, al igual que el horneado tiene un tiempo hasta el cual se debe llegar. Al referirnos a limites en la vida diaria nos referimos a condiciones a las que no debemos llegar incluso cuando nos acerquemos; mantenerse dentro de los limites.

Definición de Límite

      Un límite es un concepto que describe la tendencia de una función a medida que los parámetros se acercan a un determinado valor; es decir, límite es el estudio de funciones alrededor de un punto, sin llegar a alcanzarlo.

Cuando calculamos el límite lo que queremos es averiguar a qué valor tiende una función. El límite es siempre una tendencia: x sólo se acerca al valor al que tiende pero nunca puede ser igual.

Sea una función definida para todos los valores reales cerca de un número b, con la excepción de posible de b mismo, se observa que L es el límite de f(x) cuando los valores reales tienden a b  

       Cuando x         b, entonces f(x)        L Lo que se escribe como, [pic 3][pic 4][pic 2]

                                                                                      [pic 5]

                                                        (Grafico 01) A_B_C Límite PDF

Recordemos, al calcular  no importa que la función, esté o no definida en b, lo que                                                                                                                                                                            interesa es que la función este definida en las proximidades de b.[pic 6]

En un ejemplo, f(x) = 2x + 3, b = 1 y L = 5. Podemos hacer que el valor de la función este tan cercano a 5 como se desee eligiendo x lo suficientemente cercano a 1; cuando x        1 puede obtenerse sustituyendo x = 1 en la función

Ahora, la gráfica de esta función, es una línea recta con pendiente 2 y ordenada al origen 3; cuando x = 1, y = 5  

Véase la sucesión de puntos cualesquiera (P1, P2, P3, P4, P5) tales que las coordenadas x de los puntos se acercan a 1. Estos mismos puntos deben estar cerca al punto (1,5) de la gráfica, y sus coordenadas deben estar cerca al valor límite 5

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                                       [pic 8]

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Propiedades de límites:

Para determinar límites no siempre hace falta calcular los valores de la función o esbozar una gráfica. De manera alternativa, hay varias propiedades de los límites que podemos emplear; las siguientes son las que más utilizaremos.

     Propiedad 1: Límite de una constante

• Si f(x) = c es una función constante, entonces [pic 10]

        Ejemplo:  [pic 11]

Propiedad 2: Límite de una potencia

• para cualquier entero positivo n. [pic 12]

         Ejemplo:  [pic 13]

Propiedad 3: Límite de una suma

     Si lím f (x) x→a  y  lím g(x)x→a  existe, entonces:

• . Esto es, el límite de una suma o diferencia es la suma o diferencia, respectivamente, de los límites.                              [pic 14]

            Ejemplo:  [pic 15]

Propiedad 4: Límite de un producto

• . Esto es, el límite de un producto de los límites.[pic 16]

             Ejemplo:  [pic 17]

Propiedad 5: Límite de una función

• , donde c es una constante. Esto es, el límite de una constante por una función es la constante  por el límite de la función.[pic 18]

             Ejemplo:  [pic 19]

Propiedad 6: Límite de un cociente

• , si  Esto es, el límite de un cociente es el cociente de los límites, siempre que el denominador no tenga un límite de 0.[pic 20][pic 21]

             Ejemplo:  [pic 22]

Propiedad 7: Límite de una raíz

• . Esto es, el límite de una raíz enésima de una función es la raíz enésima del límite de una función. [pic 23]

             Ejemplo:  [pic 24]

Propiedad 8: Límite de un logaritmo

• . Si a > 0 y f(x) > 0. Esto es, el límite de un logaritmo de f(x) es igual al logaritmo del límite de f(x).             [pic 25]

             Ejemplo:  [pic 26]

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