Ecuaciones Ordinarias

ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS

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El Análisis ha sido durante trescientos años una de las ramas más

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ciencias físicas y la técnica. Las cuestiones que plantean proporcionan una

importantes de la Matemática, y las ecuaciones diferenciales constituyen la parte central del Análisis, además es la que mejor permite comprender las

fuente de teoría e ideas que permiten avanzar al pensamiento.

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En este libro se pretende establecer la relación existente entre las matemáticas puras y las aplicadas, por lo que se ha considerado muy interesante introducir las ecuaciones diferenciales presentando muchos ejemplos concretos y situaciones sencillas del mundo real, y de esta forma conseguir dos objetivos, por un lado la comprensión de la importancia histórica que las ecuaciones diferenciales han tenido en el desarrollo de la Matemática y su actual vigencia y relevancia, es decir, el interés que tiene su estudio desde

el punto de vista matemático. Por otro lado, al estudiar modelos válidos para explicar situaciones sencillas del mundo real, se motiva la aplicación en contextos diversos y el tratamiento de diferentes cuestiones asociadas a ellos, como existencia y unicidad de las soluciones de un problema de valor inicial, estabilidad, problemas de contorno, comportamiento cualitativo de las

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soluciones, que explican la solución del problema y permiten generalizar los resultados. Para que el ingeniero pueda usar con confianza las ecuaciones diferenciales debe tener un cierto dominio sobre las técnicas de solución y un conocimiento suficiente sobre la teoría básica.

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istoria proporciona la

Para captar la naturaleza y el interés de las ecuaciones diferenciales y desarrollar métodos para resolver problemas científicos y técnicos no es conveniente construir una estructura matemática lógicamente impecable, y si se tiene presente además los niveles de rigor comentados por Freudenthal es preciso alcanzar exactamente el nivel de rigor adecuado, sin pasarse ni quedarse cortos, y en algunas ocasiones, presentar argumentos razonablemente convincentes, aunque puedan no ser auténticas

demostraciones para el profesorado de matemáticas

ímática génesis de los conceptos, y ya se sabe que muchos grandes matemáticos

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cometieron, con la óptica actual, graves errores, pero que sin embargo aportan noticia de la dificultad que pueden tener esos conceptos cuando son

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aplicaciones

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os objetivos que se plantean en esta sección son los siguientes:

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Comprender los conceptos sobre ecuaciones diferenciales y sistemas de

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aprendidos por primera vez. En este libro se trata por tanto de combinar, de la forma más'adecuada, el conocimiento teórico con una gran variedad de

v- -ecuaciones diferenciales.

2.

Introducir una serie de métodos y técnicas de solución que se deberán manejar con soltura, que permitan calcular la solución de determinadas ecuaciones diferenciales, y en particular de los sistemas de ecuaciones diferenciales lineales y de las ecuaciones diferenciales lineales de orden superior con coeficientes constantes.

3.

Aplicar a problemas de valor inicial las hipótesis y conclusiones de los

teoremas de existencia y unicidad presentados, lo que en la actualidad

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etapas2, donde cada una de ellas marca un avance definitivo. La primera etapa iría desde los inicios hasta 1 820 cuando Cauchy publica su teorema de existencia, que da inicio a la segunda etapa que marca la edad del rigor. La tercera comienza en 1 870 con M. S. Lie (1 842 - 1 899) y la aplicación de la teoría de grupos continuos a las ecuaciones diferenciales, particularmente

aquellos de la dinámica de Hamilton-Jacobi. La cuarta comienza en 1 880 con

el trabajo de E. Picard (1 856 - 1 941) y su teorema de existencia. La construcción de las ecuaciones diferenciales es análoga a la teoría de las

ecuaciones algebraicas de Galois. La última etapa comienza en 1 930 donde el análisis se hace más general. Ya E. H. Moore en 1 908 estudia ecuaciones con un número infinito numerable de variables; ahora se estudiarán ecuaciones diferenciales de dimensión infinita, y comienza el cálculo de variaciones y el análisis funcional.

finales del siglo XVI y principios del siglo XVII en los trabajos realizados por John Napier (1 550 - 1 617) cuando inventó los logaritmos. Vistas las tablas confeccionadas por él, si se utilizara el simbolismo moderno del cálculo

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Quizá se podría situar la primera idea sobre ecuación diferencial hacia lales del siglo XVI y principios del siglo XVII en los

infinitesimal, se podrían considerar como la resolución numérica de una ecuación diferencial.

Lo infinitamente pequeño tenía para Galileo Galilei (1 564 - 1 642) una importancia más inmediata que lo infinitamente grande, puesto que lo

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necesitaba en su dinámica. Galileo analizó el comportamiento del movimiento de un proyectil con una componente horizontal y uniforme, y una componente vertical uniformemente acelerada, consiguiendo demostrar que la trayectoria

2 Bell, E. T. (1985): Historia de las Matemáticas. (2ª ed.). Edic. Fondo de Cultura Económica.

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Figura 1: Isaac Newto

lewton (1 642 - 1 727)

El “De analysi per aequationes numero terminorum infinitas”, publicado en

principia mathematica” fue en 1 de todos los tiempos, 'donde

1 711, contiene la primera exposición sistemática del cálculo, donde formula un método sistemático de diferenciación, (aunque no se distingue mucho del que publicó Barrow en 1 670). En 1 742 se publicó “Methodus fluxionum et serierum infinitorum”, escrito hacia 1 671, en el que ya aparecen ecuaciones diferenciales. En 1 676 escribió “De quadratura curvarum” donde evitaba las cantidades infinitamente pequeñas reemplazándolas por las llamadas “razones primeras y últimas”, aunque su primera obra impresa: “Philosophiae naturalis

687 siendo el trabajo científico más admirado

ecuaciones diferenciales. Escribió, en la segunda ley de los principios, la piedra que cae por acción de la gravedad en diferentes

es plenamente consciente del papel de las

ecuación de una

medios: aire, agua, aceite... mv’ = mg - kv donde m, g y k son constantes reales mayores que cero, con lo que se obtiene una ecuación diferencial en la que se quiere encontrar v = v(t). Pero esta ecuación diferencial no proporciona propiamente

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