Ecuaciones diferenciales ordinarias
Enviado por Franklin Zuta Cruz • 22 de Diciembre de 2022 • Documentos de Investigación • 809 Palabras (4 Páginas) • 113 Visitas
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Al finalizar la sesión el estudiante conoce la teoría de las ecuaciones diferenciales ordinarias para resolver de manera autónoma diferentes situaciones problemáticas.
CONTENIDO
Ecuaciones diferenciales ordinarias
- Orden y grado.
- Ecuaciones diferenciales lineales.
- Definición de solución.
- Soluciones particulares y generales. Problemas de valor inicial.
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Muchas de las leyes de la naturaleza, en física, química y otras ciencias encuentran su expresión más natural en las ecuaciones diferenciales ordinarias.
En cualquier proceso natural, las variables involucradas y sus ritmos de variación están relacionadas entre sí por medio de los básicos que gobiernan dicho proceso. A manera de ejemplo, podemos ver como se formula la segunda ley de Newton, la cual se establece por medio de ecuaciones que incluyen derivadas:
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m d 2 y = F
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dt 2
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DEFINICIONES BÁSICAS
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Se entiende por ecuación diferencial cualquier ecuación en la que interviene una variable dependiente y sus derivadas con respecto a una o más variables independientes.
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Clasificación por tipo
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Si una ecuación contiene sólo derivadas de una o más variables dependientes respecto a una sola variable independiente, se dice que es una ecuación diferencial ordinaria (EDO).
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Una ecuación que involucra derivadas parciales de una o más variables dependientes de dos o más variables dependientes se denomina ecuación diferencial parcial (EDP).
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DEFINICIONES BÁSICAS
Clasificación por tipo
Ecuaciones diferenciales ordinarias
2 | |||||||||
+5= ; | − | +6 =0; | + | =2 + | |||||
2 | |||||||||
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Ecuaciones diferenciales parciales
22
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2 2
=− = −2
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Clasificación por orden
El orden de una ecuación diferencial está dada por el orden de la mayor derivada en la ecuación.
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2
3
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+5 −4=
2
El ejemplo muestra una ecuación diferencial ordinaria de segundo orden. A veces las ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden se escriben en la forma diferencial
, + , =0
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La forma normal de una ecuación diferencial ordinaria de n-ésimo orden está dado por:
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= , , ′, ′′,⋯, ( −1)
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Clasificación por linealidad
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Se dice que una ecuación diferencial de n-ésimo orden , , ′, ′′, ⋯ , = 0 es lineal si F es lineal en , ′, ′′, ⋯ , .
+ −1 | −1 | ||||
+⋯+ 1 | + 0 | = | |||
−1 |
Dos casos especiales e importantes son las ED lineales de primer orden (n = 1) y segundo orden (n = 2).
Lo característico de las ecuaciones lineales son:
- La variable dependiente “y” y todas sus derivadas ′, ′′, ′′′, ⋯ , ( ) son de primer grado, es decir,
la potencia de cada término que contiene “y” es igual a 1,
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• Los coeficientes 0 [pic 36], 1 [pic 37], ⋯ , [pic 38] dependen de la variable independiente “x”.
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DEFINICIONES BÁSICAS
Clasificación por linealidad
Ecuaciones diferenciales lineales
2
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−+4 =0
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2
−2 +=0
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Ecuaciones diferenciales no lineales
2 | 4 | |||||
1− ′+2 = | += 0 | + 2 | = 0 | |||
2 | 4 |
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Solución DE UNA EDO
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Se denomina una solución de la ecuación en el intervalo a cualquier función , definida en un intervalo I y que contiene al menos n derivadas continuas en I, las cuales cuando se sustituyen en una ecuación diferencial ordinaria de n-ésimo orden reducen la ecuación a una identidad.
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