UNIDAD VI. Ecuaciones Diferenciales Ordinarias

UNIDAD VI. Ecuaciones Diferenciales Ordinarias

6.1 Fundamentos Matemáticos

Las ecuaciones diferenciales tienen importancia fundamental en las ingenierías, debido a que muchas leyes y relaciones físicas se expresan matemáticamente mediante estas relaciones.

Las siguientes ecuaciones son ejemplos de ecuaciones diferenciales:

[pic 1]                        [pic 2]                [pic 3]

Las dos primeras ecuaciones contienen derivadas ordinarias y por la forma en que están escritas vemos que    y = f(x); la tercera contiene derivadas parciales y podemos ver que z = f(x, y). El orden de una ecuación diferencial es el máximo orden de las derivadas que contiene

En esta unidad desarrollaremos métodos numéricos para encontrar la solución de ecuaciones diferenciales ordinarias a partir de valores iniciales.

Un problema de valor inicial consiste en una ecuación diferencial, y en una condición que debe satisfacer la solución (o varias condiciones que se refieren al mismo valor de x, si la ecuación es de orden superior.)

[pic 4],                y0 = y(x0)

6.2 Métodos de un Solo Paso

Su aplicación parte de  y0 = y(x0)  y se avanza por pasos. En el primer paso se calcula un valor aproximado de y1 de la solución y en x = x0 + h, en el segundo paso se calcula un valor aproximado de y2 en x = x0 + 2h, y así sucesivamente.

En cada paso, los cálculos e llevan a cabo mediante la misma fórmula, y en ellas h es un valor fijo.

6.2.1 Forma General para Métodos de un Solo Paso

Deducción a partir de la serie de Taylor

donde h = xi+1  - xi.[pic 5]

f(xi+1) = f(xi) + f ´(xi) × h + (0) h2

Si truncamos la serie de Taylor a partir del término [pic 6]

        f(xi+1)     =          f(xi)         +    f ´(xi)     ×            h                + (o) h2

Valor Actual = Valor Anterior + Pendiente × Tamaño del Paso + Error

Si hacemos φ = f ´(xi)

yi+1 = yi+ φ  h

[pic 7]

[pic 8]

Figura 6.1 Método de un solo paso

6.2.1.1 Método de Euler

La primera derivada proporciona una aproximación directa a la pendiente en xi

φ = f (xi, yi)

donde f(xi, yi) es la ecuación diferencial evaluada en (xi, yi)

yi+1 = yi+ f (xi, yi) h

A esta fórmula se le conoce como método de Euler, o método de Euler-Cauchy o de pendiente puntual.

Ejemplo 6.1

Hallar el valor de f(x) en x =2, sí y(0) = 1[pic 9]

Analíticamente

[pic 10]

[pic 11]

[pic 12]

[pic 13]

[pic 14]

[pic 15]

Dado que y(0) = 1, A = 1

[pic 16]

Entonces y(2) = 1.947734

Numéricamente

Por el método de Euler, usando h = 0.5, y(0) = 1.

Ecuación del método

yi+1 = yi+ f (xi, yi) h

xi = 0

yi = 1

f (xi, yi) =  yi (xi2 - 1)

f (0, 1) =  1 (02 - 1) = -1

yi+1 = 1+ (-1) (0.5) = 0.5

xi+1 = xi+ h = 0 + 0.5 = 0.5

xi = 0.5

yi = 0.5

f (xi, yi) = f (0.5, 0.5) =  0.5 [(0.5)2 – 1]

 = -0.375

yi+1 = 0.5 + (-0.375) (0.5) = 0.3125

xi+1 = xi+ h = 0.5 + 0.5 = 1

xi = 1

yi = 0.3125

f (xi, yi) = f (1, 0.3125)

 =  0.3125 [(1)2 – 1] = 0

yi+1 = 0.3125 + (0) (0.5) = 0.3125

xi+1 = xi+ h = 1 + 0.5 = 1.5

xi = 1.5

yi = 0.3125

f (xi, yi) = f (1.5, 0.3125)

 =  0.3125 [(1.5)2 – 1] = 0.390625

yi+1 = 0.3125 + 0.390625 (0.5)

= 0.5078125

xi+1 = xi+ h = 1.5 + 0.5 = 2

Aplicando el mismo procedimiento para h = 0.25 y h = 0.125 se obtiene

                        Tabla 6.1 Valores de y para distintos valores de h con Euler

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