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UNIDAD VI. Ecuaciones Diferenciales Ordinarias

manuel alejadro enriquez ramonTarea13 de Abril de 2017

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UNIDAD VI. Ecuaciones Diferenciales Ordinarias

6.1 Fundamentos Matemáticos

Las ecuaciones diferenciales tienen importancia fundamental en las ingenierías, debido a que muchas leyes y relaciones físicas se expresan matemáticamente mediante estas relaciones.

Las siguientes ecuaciones son ejemplos de ecuaciones diferenciales:

[pic 1]                        [pic 2]                [pic 3]

Las dos primeras ecuaciones contienen derivadas ordinarias y por la forma en que están escritas vemos que    y = f(x); la tercera contiene derivadas parciales y podemos ver que z = f(x, y). El orden de una ecuación diferencial es el máximo orden de las derivadas que contiene

En esta unidad desarrollaremos métodos numéricos para encontrar la solución de ecuaciones diferenciales ordinarias a partir de valores iniciales.

Un problema de valor inicial consiste en una ecuación diferencial, y en una condición que debe satisfacer la solución (o varias condiciones que se refieren al mismo valor de x, si la ecuación es de orden superior.)

[pic 4],                y0 = y(x0)

6.2 Métodos de un Solo Paso

Su aplicación parte de  y0 = y(x0)  y se avanza por pasos. En el primer paso se calcula un valor aproximado de y1 de la solución y en x = x0 + h, en el segundo paso se calcula un valor aproximado de y2 en x = x0 + 2h, y así sucesivamente.

En cada paso, los cálculos e llevan a cabo mediante la misma fórmula, y en ellas h es un valor fijo.

6.2.1 Forma General para Métodos de un Solo Paso

Deducción a partir de la serie de Taylor

donde h = xi+1  - xi.[pic 5]

f(xi+1) = f(xi) + f ´(xi) × h + (0) h2

Si truncamos la serie de Taylor a partir del término [pic 6]

        f(xi+1)     =          f(xi)         +    f ´(xi)     ×            h                + (o) h2

Valor Actual = Valor Anterior + Pendiente × Tamaño del Paso + Error

Si hacemos φ = f ´(xi)

yi+1 = yi+ φ  h

[pic 7]

[pic 8]

Figura 6.1 Método de un solo paso

6.2.1.1 Método de Euler

La primera derivada proporciona una aproximación directa a la pendiente en xi

φ = f (xi, yi)

donde f(xi, yi) es la ecuación diferencial evaluada en (xi, yi)

yi+1 = yi+ f (xi, yi) h

A esta fórmula se le conoce como método de Euler, o método de Euler-Cauchy o de pendiente puntual.

Ejemplo 6.1

Hallar el valor de f(x) en x =2, sí y(0) = 1[pic 9]

Analíticamente

[pic 10]

[pic 11]

[pic 12]

[pic 13]

[pic 14]

[pic 15]

Dado que y(0) = 1, A = 1

[pic 16]

Entonces y(2) = 1.947734

Numéricamente

Por el método de Euler, usando h = 0.5, y(0) = 1.

Ecuación del método

yi+1 = yi+ f (xi, yi) h

xi = 0

yi = 1

f (xi, yi) =  yi (xi2 - 1)

f (0, 1) =  1 (02 - 1) = -1

yi+1 = 1+ (-1) (0.5) = 0.5

xi+1 = xi+ h = 0 + 0.5 = 0.5

xi = 0.5

yi = 0.5

f (xi, yi) = f (0.5, 0.5) =  0.5 [(0.5)2 – 1]

 = -0.375

yi+1 = 0.5 + (-0.375) (0.5) = 0.3125

xi+1 = xi+ h = 0.5 + 0.5 = 1

xi = 1

yi = 0.3125

f (xi, yi) = f (1, 0.3125)

 =  0.3125 [(1)2 – 1] = 0

yi+1 = 0.3125 + (0) (0.5) = 0.3125

xi+1 = xi+ h = 1 + 0.5 = 1.5

xi = 1.5

yi = 0.3125

f (xi, yi) = f (1.5, 0.3125)

 =  0.3125 [(1.5)2 – 1] = 0.390625

yi+1 = 0.3125 + 0.390625 (0.5)

= 0.5078125

xi+1 = xi+ h = 1.5 + 0.5 = 2

Aplicando el mismo procedimiento para h = 0.25 y h = 0.125 se obtiene

                

                        Tabla 6.1 Valores de y para distintos valores de h con Euler

h = 0.5

h = 0.25

h = 0.125

x

y

x

y

x

y

0.0

1.0000

0.00

1.0000

0.000

1.0000

0.125

   0.8750

0.25

0.7500

0.250

0.7673

0.375

0.6774

0.5

0.5000

0.50

0.5742

0.500

0.6046

0.625

   0.5480

0.75

0.4666

0.750

0.5062

0.875

0.4785

1.0

0.3125

1.00

0.4155

1.000

0.4645

1.125

0.4645

1.25

0.4155

1.250

0.4799

1.375

0.5137

1.5

0.3125

1.50

0.4740

1.500

0.5709

1.625

0.6601

1.75

0.6221

1.750

0.7954

1.875

1.0005

2.0

0.5078

2.00

0.9428

2.000

1.3151

...

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