UNIDAD VI. Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
manuel alejadro enriquez ramonTarea13 de Abril de 2017
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UNIDAD VI. Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
6.1 Fundamentos Matemáticos
Las ecuaciones diferenciales tienen importancia fundamental en las ingenierías, debido a que muchas leyes y relaciones físicas se expresan matemáticamente mediante estas relaciones.
Las siguientes ecuaciones son ejemplos de ecuaciones diferenciales:
[pic 1] [pic 2] [pic 3]
Las dos primeras ecuaciones contienen derivadas ordinarias y por la forma en que están escritas vemos que y = f(x); la tercera contiene derivadas parciales y podemos ver que z = f(x, y). El orden de una ecuación diferencial es el máximo orden de las derivadas que contiene
En esta unidad desarrollaremos métodos numéricos para encontrar la solución de ecuaciones diferenciales ordinarias a partir de valores iniciales.
Un problema de valor inicial consiste en una ecuación diferencial, y en una condición que debe satisfacer la solución (o varias condiciones que se refieren al mismo valor de x, si la ecuación es de orden superior.)
[pic 4], y0 = y(x0)
6.2 Métodos de un Solo Paso
Su aplicación parte de y0 = y(x0) y se avanza por pasos. En el primer paso se calcula un valor aproximado de y1 de la solución y en x = x0 + h, en el segundo paso se calcula un valor aproximado de y2 en x = x0 + 2h, y así sucesivamente.
En cada paso, los cálculos e llevan a cabo mediante la misma fórmula, y en ellas h es un valor fijo.
6.2.1 Forma General para Métodos de un Solo Paso
Deducción a partir de la serie de Taylor
donde h = xi+1 - xi.[pic 5]
f(xi+1) = f(xi) + f ´(xi) × h + (0) h2
Si truncamos la serie de Taylor a partir del término [pic 6]
f(xi+1) = f(xi) + f ´(xi) × h + (o) h2
Valor Actual = Valor Anterior + Pendiente × Tamaño del Paso + Error
Si hacemos φ = f ´(xi)
yi+1 = yi+ φ h
[pic 7]
[pic 8]
Figura 6.1 Método de un solo paso
6.2.1.1 Método de Euler
La primera derivada proporciona una aproximación directa a la pendiente en xi
φ = f (xi, yi)
donde f(xi, yi) es la ecuación diferencial evaluada en (xi, yi)
yi+1 = yi+ f (xi, yi) h
A esta fórmula se le conoce como método de Euler, o método de Euler-Cauchy o de pendiente puntual.
Ejemplo 6.1
Hallar el valor de f(x) en x =2, sí y(0) = 1[pic 9]
Analíticamente
[pic 10]
[pic 11]
[pic 12]
[pic 13]
[pic 14]
[pic 15]
Dado que y(0) = 1, A = 1
[pic 16]
Entonces y(2) = 1.947734
Numéricamente
Por el método de Euler, usando h = 0.5, y(0) = 1.
Ecuación del método
yi+1 = yi+ f (xi, yi) h
xi = 0
yi = 1
f (xi, yi) = yi (xi2 - 1)
f (0, 1) = 1 (02 - 1) = -1
yi+1 = 1+ (-1) (0.5) = 0.5
xi+1 = xi+ h = 0 + 0.5 = 0.5
xi = 0.5
yi = 0.5
f (xi, yi) = f (0.5, 0.5) = 0.5 [(0.5)2 – 1]
= -0.375
yi+1 = 0.5 + (-0.375) (0.5) = 0.3125
xi+1 = xi+ h = 0.5 + 0.5 = 1
xi = 1
yi = 0.3125
f (xi, yi) = f (1, 0.3125)
= 0.3125 [(1)2 – 1] = 0
yi+1 = 0.3125 + (0) (0.5) = 0.3125
xi+1 = xi+ h = 1 + 0.5 = 1.5
xi = 1.5
yi = 0.3125
f (xi, yi) = f (1.5, 0.3125)
= 0.3125 [(1.5)2 – 1] = 0.390625
yi+1 = 0.3125 + 0.390625 (0.5)
= 0.5078125
xi+1 = xi+ h = 1.5 + 0.5 = 2
Aplicando el mismo procedimiento para h = 0.25 y h = 0.125 se obtiene
Tabla 6.1 Valores de y para distintos valores de h con Euler
h = 0.5 | h = 0.25 | h = 0.125 | |||
x | y | x | y | x | y |
0.0 | 1.0000 | 0.00 | 1.0000 | 0.000 | 1.0000 |
0.125 | 0.8750 | ||||
0.25 | 0.7500 | 0.250 | 0.7673 | ||
0.375 | 0.6774 | ||||
0.5 | 0.5000 | 0.50 | 0.5742 | 0.500 | 0.6046 |
0.625 | 0.5480 | ||||
0.75 | 0.4666 | 0.750 | 0.5062 | ||
0.875 | 0.4785 | ||||
1.0 | 0.3125 | 1.00 | 0.4155 | 1.000 | 0.4645 |
1.125 | 0.4645 | ||||
1.25 | 0.4155 | 1.250 | 0.4799 | ||
1.375 | 0.5137 | ||||
1.5 | 0.3125 | 1.50 | 0.4740 | 1.500 | 0.5709 |
1.625 | 0.6601 | ||||
1.75 | 0.6221 | 1.750 | 0.7954 | ||
1.875 | 1.0005 | ||||
2.0 | 0.5078 | 2.00 | 0.9428 | 2.000 | 1.3151 |
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