ALGEBRA LINEAL TRANSFORMACIONES LINEALES

ALGEBRA LINEAL

TRANSFORMACIONES LINEALES

Determine si las siguientes transformaciones T:Rn→Rm    son lineales.

1. F(x, y, z) = (x+y , z , 0 )
2. F(x, y) = (x2 , y )
3. F(x, y) = (y , y )
4. F(x, y, z) = (1 , 1)
5. F(x, y, z) = ( 0 , 0 )
6. F(x, y, z) = (2x+y , 3y-4z )

Determine si las siguientes transformaciones T:M22→R    son lineales

1. [pic 1]
2. [pic 2]

Determine si las siguientes transformaciones T:P2→P2    son lineales

1. F(a0+a1x+a2x2)=a0+(a1+a2)x+(2a0-3a1)x2
2. F(a0+a1x+a2x2)=a0+a1(x+1)x+a2(x+1)2
3. F(a0+a1x+a2x2)=0
4. F(a0+a1x+a2x2)=(a0+1)+a1x+a2x2
5. Sea T:R3→R2 una transformación lineal y suponga que:

[pic 3]                [pic 4]                [pic 5]

1. Halle la matriz de la transformación
2. Calcule T(1,0,2)
3. Encuentre [pic 6]

1. Sea T:R2→R2 la multiplicación por                [pic 7]

¿Cuáles delas matrices siguientes están en R(T)  (Recorrido de T)?

1. [pic 8]                b) [pic 9]                        c)  [pic 10]

1. Con respecto a la transformación anterior (14)  ¿Cuáles de las matrices siguientes están en Ker(T) ?

1. [pic 11]                b) [pic 12]                        c)  [pic 13]

1. Sea T:P2→P3  la transformación lineal definida por: T(p(x))=x p(x). ¿Cuáles de los polinomios siguientes están en Ker(T)?

1. x2                        b) 0                c) 1+x

1. Con respecto a la transformación anterior (16) ¿Cuáles de los siguientes polinomios están en R(T)?

1. x+x2                b) 1+x                c) 3-x2

Sea T la multiplicación por la matriz dada. Encontrar:

1. Una base para el recorrido de T
2. Una base para el núcleo de T
3. El rango y la nulidad de T

1.    [pic 14]
2. [pic 15]
3. [pic 16]

Vectores y matrices de coordenadas

Hallar el vector de coordenadas relativo a la base dada.

1. u=(1,1),                 B={ v1=(3,8), v2=(2, -4)}
2. u=(2,-1,3)        B={ v1=(1,0,0), v2=(2,2,0), v3=(3,3,3)}
3. u=(5,-12,3)         B={ v1=(1,2,3), v2=(-4,5,6), v3=(7,-8,9)}
4. p=4-3x+x2,          B={ p1 =1, p2=x, p3=x2}
5. p=2-x+x2,          B={ p1 =1+x, p2=1+x2, p3=x+x2}
6. [pic 17]          [pic 18]

1. u=(-1,0,2)        B={ v1=(2/3,-2/3,1/3), v2=(2/3,1/3,-2/3), v3=(1/3,2/3,2/3)}, considere que esta es una base ortonormal con respecto al producto interior euclidiano.
2. Considere las bases B={ u1, u2 } y B´={v1, v2} para R2, donde:

[pic 19],  [pic 20]                        [pic 21],  [pic 22]

1. Halle la matriz de transición de B a B´.
2. Calcule la matriz de coordenadas [w]B´ , donde [pic 23]usando la matriz de transición.
3. Verifique el resultado calculando  [w]B´  , directamente
4. Halle la matriz de transición de B´a B.

1. Repita las instrucciones del problema (28) con

[pic 24],  [pic 25]                        [pic 26],  [pic 27]

1. Considere las bases B={ p1, p2 } y B´={q1, q2} para P1, donde:

p1=6+3x        p2=10+2x                q1=2        q2=3+2x

1. Halle la matriz de transición de B a B´.
2. Calcule la matriz de coordenadas [p]B´ , donde p=-4+x , usando la matriz de transición.
3. Verifique el resultado calculando  [p]B , directamente
4. Halle la matriz de transición de B´a B.

1. Considere las bases B={ u1, u2 , u3} y B´={v1, v2 , v3 } para R3, donde:

[pic 28],  [pic 29],  [pic 30]                [pic 31], [pic 32], [pic 33]

1. Halle la matriz de transición de B a B´.
2. Calcule la matriz de coordenadas [w]B´ , donde [pic 34], usando la matriz de transición.
3. Verifique el resultado calculando  [w]B , directamente
4. Halle la matriz de transición de B´a B.

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