Algebra Lineal - Transformaciones Lineales
CidZekeApuntes28 de Agosto de 2015
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ÁLGEBRA LINEAL
Transformaciones Lineales
Roberto Alvídrez
Jorge Bautista
Andrés Becerra
Carmen Herrera
Ezequiel Vázquez
Fernando Velazco
Transformaciones lineales Generales 449
Ejemplo 5 En la sección 6.4 se definió la proyección ortogonal de Rm sobre un subespacio W. [Véase la formula (6) y la definición procedente a esta en dicha sección.] Las proyecciones ortogonales también se pueden definir en espacios generales con producto interior como sigue: Supóngase que W es un subespacio de dimensión finita de un espacio V con un producto interior; entonces la proyección ortogonal de V sobre W es la transformación definida por
[pic 1]
(Figura 2). Por el teorema 6.3.5 se deduce que si
[pic 2]
Es cualquier base normal para W, entonces T (v) está definido por la formula
[pic 3]
[pic 4][pic 5][pic 6]
V W[pic 7]
[pic 9][pic 8]
[pic 10]
Figura 2 [pic 11]
La demostración de que T es una transformación lineal es consecuencia de las propiedades del producto interior, por ejemplo:
[pic 12]
[pic 13]
[pic 14]
[pic 15]
De manera semejante, [pic 16]
Ejemplo 6 como un caso especial del ejemplo anterior, sea V=R3 con el producto interior euclidiano, los vectores W1= (1, 0, 0) y W2= (0, 1, 0) forman una base ortonormal del plano xy, por tanto si V= (x, y, z) es cualquier vector en R3 sobre el plano xy está dado por:
[pic 17]
[pic 18]
[pic 19]
Transformaciones lineales Generales
Ejemplo 15 sean y las transformaciones lineales definidas por las formulas[pic 20][pic 21]
[pic 22]
Entonces la composición está definida por la formula [pic 23]
[pic 24]
En particular si entonces [pic 25]
[pic 26]
[pic 27]
Ejemplo 16 si es cualquier operador lineal y si es el operador identidad (ejemplo 3) entonces para todos los vectores en se tiene [pic 28][pic 29][pic 30][pic 31]
[pic 32]
[pic 33]
En consecuencia, son iguales a es decir [pic 36][pic 34][pic 35]
[pic 37]
(3)[pic 38]
Esta sección concluye haciendo notar que las composiciones se pueden definir para más de dos transformaciones lineales. Por ejemplo, si
[pic 39]
Son transformaciones lineales, entonces la composición se define como:[pic 41][pic 40]
(4)[pic 42]
Transformaciones lineales 457
Estas propiedades se usaran como punto de partida para el estudio de las transformaciones lineales generales.
Ejemplo 1 debido a que la transformación anterior de transformada lineal se basa en el teorema 4.3.2, las transformaciones lineales de a , según se definieron en la sección 4,2. También son transformaciones lineales bajo esta definición más general. A las transformaciones lineales de a se les llamara transformaciones matriciales ya que se pueden efectuar por medio de la multiplicación de matrices. 𝛥[pic 43][pic 44][pic 45][pic 46]
Ejemplo 2 sean y dos espacios vectoriales cualesquiera. El mapeo tal que para todo en es una transformación lineal denominada transformación cero. Para darse cuenta que es lineal, obsérvese que[pic 47][pic 48][pic 49][pic 50][pic 51][pic 52][pic 53]
[pic 54]
Por consiguiente
[pic 55]
Ejemplo 3 sea cualquier espacio vectorial. El mapeo definido por se llama operador identidad sobre . La composición de que es lineal se deja como ejercicio. 𝛥[pic 56][pic 57][pic 58][pic 59][pic 60]
Ejemplo 4 sea cualquier espacio vectorial y cualquier escalar fijo. Se deja como ejercicio comprobar la función definida por[pic 61][pic 62][pic 63]
[pic 64]
Es un operador lineal sobre . Este operador lineal se conoce como dilatación de con factor si y como contracción de con factor si geométricamente la dilatación “estira” a cada vector de por un factor y la contracción de “comprime” a cada vector de por un factor (figura 1). 𝛥[pic 65][pic 66][pic 67][pic 68][pic 69][pic 70][pic 71][pic 72][pic 73][pic 74][pic 75][pic 76]
[pic 77][pic 78][pic 79][pic 80]
[pic 82][pic 83][pic 84][pic 81]
[pic 85][pic 86][pic 87][pic 88][pic 89][pic 90][pic 91]
[pic 92]
[pic 95][pic 96][pic 97][pic 98][pic 93][pic 94]
[pic 99][pic 100]
Figura 1
Transformaciones lineales 482
La matriz para con respecto a y es [pic 101][pic 102][pic 103]
[pic 104]
Ejemplo 2 sea la transformación lineal del ejemplo 1. Demostrar que la matriz [pic 105]
[pic 106]
(Obtenida en el ejemplo 1) satisface para todo vector en [pic 107][pic 108][pic 109]
Solución. Como , se tiene [pic 110]
[pic 111]
Para las bases del ejemplo 1, por inspección se concluye que [pic 112]
[pic 113]
[pic 114]
Por tanto,
[pic 115]
De modo que se cumple. 𝛥[pic 116]
Ejemplo 3 sea la transformación lineal definida por [pic 117]
[pic 118]
Pág. 452
Sea V un espacio con producto interior o sea un espacio v_0 cualquier vector fijo en V. Sea T:V →R la transformación que mapea un vector v en su producto interior en v_0 ; es decir,
T(v)=(v,v_0)
Por las propiedades del producto interior,
T(u+v)=(u+v,v_0 )=(u,v_0 )+(v,v_0 )=T(u)+T(v)
Y
T(ku)=(ku,v_0 )=k(u,v_0 )=kT(u)
De modo que T es una transformación lineal. Δ
Sea V=C^1 (-∞,∞) el espacio vectorial de funciones con primeras derivadas continuas sobre (-∞,∞), y sea W=F(-∞,∞) el espacio vectorial de todas las funciones con valores reales definidas sobre (-∞,∞). Sea D:V →W la transformación que mapea una función f = f(x) en su derivada; es decir,
D(f)= f^' (x)
Por las propiedades de derivación se tiene que
D(f+g)=D(f)+D(g)
Y
D(kf)=kD(f)
Asi. D es una transformación lineal. Δ
Sea V=C(-∞,∞) el espacio vectorial de funciones continuas sobre (-∞,∞), y sea W= C^1 (-∞,∞) el espacio vectorial de funciones con primeras derivadas continuas sobre (-∞,∞). Sea J:V →W la transformación que mapea f = f(x) en la integral
∫_0^x▒f(t)dt
Por ejemplo, si f = x^2 entonces
J(f)= ∫_0^x▒〖t^2 dt=t^3/3,o sea x^3/3 desde 0 a x〗
Por las propiedades de la integración se tiene que
J(f+g)= ∫_0^x▒〖(f(t)+g(t))dt= ∫_0^x▒〖f(t)dt+ ∫_0^x▒〖g(t)dt=J(f)+J(g) 〗〗〗
J(cf)= ∫_0^x▒〖cf(t)dt=c∫_0^x▒〖f(t)dt=cJ(f)〗〗
...