ANÁLISIS ESPECTRAL. SERIES DE FOURIER

ANÁLISIS ESPECTRAL.

SERIES DE FOURIER.

PERIODOGRAMA.

El análisis espectral se basa en la transformación de FOURIER que nos conduce desde el dominio del tiempo al dominio de las frecuencias. Se trata de analizar la señal desde un punto de vista distinto, pero relacionado con los métodos ya estudiados, con el que se pretende investigar el proceso que genera la señal en base a sus componentes en frecuencia.

Como se recordará una función f(x) se denomina periódica si existe un número entero mínimo (p) tal que f(x±p)=f(x), y a p se le denomina periodo de la función f(x). Esto es equivalente a decir que la función se repite idéntica cada p intervalos.

Como ejemplo de funciones periódicas simples tenemos las funciones:

y=seno(x)

y=coseno(x)

Ambas de periodo 2π.

De forma general la función:

y = R cos (nx-ф)

Es una función periódica de periodo 2π/n, de fase ф, de amplitud R y de frecuencia n/2π

[pic 1]

Esta función se puede escribir también en la forma:

y = acos(nx) + bsen(nx)

Para comprobarlo aplicamos la fórmula para el coseno de la suma de dos ángulos y tendremos

y = R cos (nx-ф) = y = R [cos (nx) cos (ф) + sen (nx) sen (ф)]

Recordando la forma que toman el coseno, seno y tangente, del ángulo ф, opuesto al cateto b, en un triángulo· rectángulo de hipotenusa R y catetos a y b.

Tendremos:

[pic 2]

cos (ф)= a/R

sen (ф)= b/R

tan (ф)= b/a

y sustituyendo en la suma obtendremos la segunda forma de expresión planteada.

Cuando disponemos de esta segunda forma y queremos pasar a la primera, emplearemos:

[pic 3]

ф = arc. tan (b/a)

Todavía existe otra manera de escribir la función y es con notación de número complejo de acuerdo con la formulación de Euler.

[pic 4]

[pic 5]

Por lo tanto[pic 6][pic 7]

y = acos(nx) + bsen(nx) =                                                   =

Si utilizamos C=(a+b/i)/2 y tenemos en cuenta que 1/i=-i entonces podemos emplear:

C=(a-bi)/2 y C*= (a+bi)/2 siendo C y C* complejos conjugados.

Por lo tanto disponemos de las expresiones:

y = R cos (nx-ф) = acos(nx) + bsen(nx) = Cinx+C*-inx

C se puede escribir de formas distintas según que parámetros utilicemos:

Dónde:

[pic 8]

Ψ= arc.tan (-b/a)

Como ejemplo la función y=12cos(4x-2) se podrá escribir en la siguientes formas todas ellas equivalentes:

y=12cos(4x-2)

y=-4.994cos(4x)+10.912sen(4x)

Y=6e-1.142i e4x +6e1.142i e-i4x

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