Series de fourier
Enviado por Pablo Reyes Gomez • 2 de Octubre de 2020 • Tareas • 2.015 Palabras (9 Páginas) • 184 Visitas
SERIES DE FOURIER
UNIDAD V
Es frecuente que en los problemas de ingeniería surjan funciones periódicas, las cuales es conveniente representar por medio de funciones periódicas simples, como son el seno y el coseno. Este estudio lo realizo el físico matemático francés Jean--Baptiste Joseph Fourier (1768—1830). Quien introdujo las series de Fourier, en su teoría analítica del calor. En la cual desarrolló la teoría de la conducción del calor por medio de la ecuación del calor. Estas nuevas series se convirtieron en una de las herramientas mas poderosas para la aplicación de las matemáticas a la física, así como, en el desarrollo de las matemáticas mismas. Estas series se usan por lo general para resolver problemas que comprenden ecuaciones diferenciales ordinarias y en derivadas parciales.
La teoría de las series de Fourier, en general tiene complicaciones (no es facil), pero afortunadamente su aplicación es realmente sencilla. Podemos afirmar que las series de Fourier son más generales que la serie de Taylor, ya que muchas funciones periódicas discontinuas que son de interés práctico se pueden, representar por series de Fourier y no se pueden representar por serie de Taylor.
Definición de serie de Fourier
Serie de Fourier de una función de periodo arbitrario
Se denomina serie trigonométrica a la serie funcional siguiente:
[pic 1]
Donde [pic 2] es un valor constante y los números [pic 3] son los coeficientes de la serie.
La Suma de la serie es la función:
[pic 4]
Además si esta función esta definida para un valor [pic 5] , también está definida para[pic 6] donde [pic 7] y no depende de [pic 8], lo que quiere decir que [pic 9] es unan función periódica de [pic 10], con periodo [pic 11], es decir:
[pic 12]
Entonces si una función [pic 13] es una función periódica de [pic 14], con periodo [pic 15], nos interesa saber si existe una serie trigonométrica, llamada serie de Fourier de [pic 16], cuya suma sea [pic 17].
Definición. Supongamos que [pic 18] es una función periódica con periodo [pic 19][pic 20] definida en el intervalo [pic 21] que se puede desarrollar en la serie trigonométrica
[pic 22]
Cuyos coeficientes [pic 23] se determinan a través de la función [pic 24] mediante las fórmulas: [pic 25]
[pic 26]
[pic 27]
[pic 28]
Los coeficientes [pic 29], que se determinan según estas fórmulas, se denominan coeficientes de la serie de Fourier de la función [pic 30]
Encuentra la serie de Fourier de la función [pic 31] cuya definición en un periodo es:
[pic 32]
Solución. La Gráfica de la función es:
[pic 33][pic 34]
[pic 35]
Cálculo de los coeficientes
[pic 36]
[pic 37]
[pic 38]
Calculamos las integrales por separado
[pic 39]
Integrando por partes
[pic 40]
[pic 41]
[pic 42]
[pic 43]
[pic 44]
Calculamos las integrales por separado
[pic 45]
[pic 46]
[pic 47]
[pic 48]
0
[pic 49][pic 50]
[pic 51]
[pic 52]
Sustituyendo los valores de las integrales
[pic 53] = [pic 54]
Entonces la serie es:
[pic 55]
Calculamos algunos coeficientes
Para [pic 56] se tiene:
[pic 57]
Para [pic 58] se tiene:
´ [pic 59]
La serie se pude desarrollar como sigue:
[pic 60]De esta última expresión se ve que la serie se puede escribir como sigue
[pic 61], como la función no es ni par ni impar, la serie resultante es una suma de senos y cosenos, tal y como se esperaba.
A continuación se da la gráfica de la función dada y las gráficas de las primeras cinco sumas parciales
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