ANALISIS DE FOURIER

INTRODUCCION

En la presente redacción a manera de ensayo se ha desarrollado un análisis a cerca de las Series de Fourier  con el fin de comprender como este importante análisis matemático se desempeña en el desarrollo de la ingeniería, para esto citaremos varios autores y diferentes fuentes de investigación que se analizaron desde el  un método cualitativo, dado que existen métodos y reglas exactas mereces su citado literal más, se explica cómo se desarrolló en el tiempo en análisis de Fourier.

 La trigonometría como método de aplicación, el entablase de senos y cosenos con el fin de encontrar el valor funcional de las cosas, esto interesante método matemático se describe continuación para comprender que es un proceso evolutivo de teorías pasadas más una importante genialidad del Matemático Francés descubridor de este análisis.

DESARROLLO

La naturaleza de la convergencia de las series de Fourier recibió mayor atención después de

la introducción del concepto de convergencia uniforme por Stokes y Seidel. Heine hizo notar que la demostración usual de que una función acotada está representada unívocamente en [−π,π] por una serie de Fourier es incompleta porque la serie puede no ser uniformemente convergente y así no puede integrarse termino a término. Sin embargo, pueden existir series trigonométricas que  no son uniformemente convergentes que si representasen una función. Estos problemas dieron origen a una nueva serie de investigaciones que buscaban establecer la unicidad de la representación de una función mediante una serie trigonométrica, y si los coeficientes son necesariamente los coeficientes de Fourier.

Heine demostr´o que una serie de Fourier que representa una función acotada que satisface las condiciones de Dirichlet es uniformemente convergente en las partes del intervalo [−π,π] que quedan cuando se eliminan del intervalo entornos arbitrariamente pequeños de los puntos de discontinuidad de la función. En estos entornos la convergencia es elementalmente uniforme.Heine demostró después que si la convergencia uniforme se cumple para una serie Trigonométrica que representa a una función entonces la serie es ´única.

Los problemas asociados con la unicidad de las series trigonométricas y las de Fourier Atrajeron a Georg Cantor, quien estudio el trabajo de Heine. Demostr´o que cuando f(x) se representa por una serie trigonométrica convergente para toda x, no existe otra serie trigonométrica de la misma forma que converja y represente la misma función f(x).Durante aproximadamente cincuenta años después del trabajo de Dirichlet se creyó que La serie de Fourier de cualquier función continua en [−π,π] converge a la función. Pero DuBois Reymond di´o un ejemplo (1873) de una funci´on continua en [−π,π] cuya serie de Fourier no converge en un punto particular. Las funciones con series de Fourier divergentes que construyo DuBois Reymond son complicadas. Ejemplos posteriores más sencillos son

Debidos a Schwarz y Fejer

Uno de los problemas del que se ocuparon los maten áticos del siglo XVIII es el que se conoce con el nombre del “problema de la cuerda vibrante”. Este problema fue estudiado por d’Alembert y Euler (usando el método de propagación de las ondas) y un poco más tarde, concretamente en 1.753, por Daniel Bernouilli. La solución dada por ´este difería de la proporcionada por los anteriores y consistió básicamente en expresar la solución del problema como superposición (en general infinita) de ondas sencillas. Las ideas de Bernouilli serian aplicadas y perfeccionadas por Fourier, en 1.807, en el estudio de problemas relacionados con la conducción del calor. Se encuentran registradas  por escrito en el libro clásico “Theorie analytique de la Chaleur”, publicado en 1.822. Los razonamientos realizados por Fourier en este libro plantearon de manera inmediata numerosas controversias y cuestiones que han tenido una influencia significativa en la historia de la Matemática. En este trabajo comentamos algunas de ellas, tales como la existencia de funciones continuas no derivables, la teoría de conjuntos de Cantor y las nociones de integral de Cauchy, Riemann y Lebesgue. Hablamos, además, de cómo es la presentación actual de la teoría de series de Fourier, a través del espacio de funciones de cuadrado integrable, en el sentido de Lebesgue, y de los problemas de contorno del tipo A. Canadá, Seminario de Historia de la Matemática, 04/05 2 Sturm-Liouville, que proporcionan bases más generales que la de Fourier. Por ´ultimo, comentamos el papel jugado en este siglo por el Análisis Funcional para situar la teoría de series de Fourier en su marco abstracto: el de las bases de los espacios de Hilbert separables, obtenidas con los vectores propios de los operadores lineales, compactos y auto adjuntos. Este punto de vista abrió el rango de aplicabilidad de los métodos de Fourier a campos insospechados

El primer matemático que elaboro un modelo apropiado para el anterior problema fue Jean Le Rond d’Alembert. Bajo diversas hipótesis (referentes fundamentalmente a que las vibraciones sean “pequeñas).

Los autores definen a la serie de  Fourier como una serie infinita que converge puntualmente a una función periódica, continua y a trozos (o por partes). Las series de Fourier constituyen la herramienta matemática básica del análisis de Fourier empleado para analizar funciones  periódicas a través de la descomposición de dicha función en una suma infinita de funciones sinusoidales mucho más simples (Se desarrolla la combinación de senos y cosenos). El nombre se debe al matemático francés Jean-Baptiste Joseph Fourier, que desarrolló la teoría cuando estudiaba la ecuación del calor. Fue el primero que estudió tales series sistemáticamente, y publicó sus resultados iniciales en 1807 y 1811. Esta área de investigación se llama algunas veces análisis armónico.

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