Uso de la transformada de Fourier como herramienta para el análisis espectral de la voz.

Uso de la transformada de Fourier como herramienta para el análisis espectral de la voz

Este documento ha sido creado con la finalidad de dar a conocer el estudio y análisis de una señal analógica (la voz) mediante las transformadas de Fourier haciendo uso de una software de simulación (Matlab)

Términos Clave – Matlab, Graficas,  Ecuaciones Diferenciales, Transformadas de Fourier, Operaciones matriciales, GUI.

1. RESUMEN

Se sitúa el análisis espectral dentro del conjunto de análisis llevados a cabo mediante programas informáticos de análisis del habla. A continuación, se definen la frecuencia y la duración. Luego se definen la amplitud, intensidad, y se establece la relación entre estos conceptos. Se clasifican los espectros y se procede al tratamiento de cada tipo.

1. INTRODUCCIÓN

En este proyecto presentaremos la Transformada de Fourier como un método de análisis de las señales en el dominio de la frecuencia. De esta manera, las señales de voz pueden ser estudiadas e implementadas para diferentes usos y aplicaciones; intentaremos explorar algunos de esas aplicaciones mediante el uso de las diferentes herramientas de MATLAB.

     Transformada rápida de Fourier en la voz

Eficiente algoritmo que permite calcular la transformada de Fourier discreta y su inversa. Es de gran importancia en una amplia variedad de aplicaciones, desde el tratamiento digital de señales y filtrado digital en general a la resolución de ecuaciones en derivadas parciales.

La transformada rápida de Fourier está relacionada con la transformada de Fourier usada para determinar el contenido en frecuencia sinusoidal y de fase en secciones locales de una señal así como sus cambios con respecto al tiempo.

STFT de tiempo continuo

Simplemente, en el caso del tiempo continuo, la función a ser transformada se multiplica por una función ventana que solo es diferente de cero por un pequeño período. La trasformada de Fourier (una función de una sola dimensión) de la señal resultante es tomada como la ventana que se desliza a lo largo del eje del tiempo, resultando una representación en dos dimensiones de la señal. Matemáticamente, se escribe, como:

[pic 1]

donde w(t) es la función ventana, comúnmente una ventana de Hann o ventana campana Gaussiana centrada en cero, y x(t) es la señal a ser transformada, x(t, w) es esencialmente la Transformada de Fourier de x(t)x(t - τ), una función compleja que representa la fase y magnitud de la señal sobre tiempo y frecuencia. A menudo se emplea la fase instantánea junto con el eje del tiempo τ y el eje de la frecuencia w para suprimir cualquier discontinuidad por salto en la fase resultante en la STFT. El índice de tiempo normalmente se considera un tiempo "lento" y usualmente no se expresa con tan alta resolución como con el tiempo t

STFT en tiempo discreto 

En el caso del tiempo discreto, la información a ser transformada podría ser dividida en pedazos o tramas (que usualmente se traslapan unos con otros, para reducir irregularidades en la frontera). Cada pedazo una transformación de Fourier, y el resultado complejo se agrega a una matriz, que almacena magnitud y fase para cada punto en tiempo y frecuencia. Esto se puede expresar así:

[pic 2]

Donde, x[n] es la señal y w[n] es la ventana. En este caso m es disctreta y ω es contínua, pero en la mayoría de aplicaciones típicas la STFT se hace en un computador usando la Tranasformada Rápida de Fourier, así ambas variables son discretas y cuantizadas. De nuevo, el índice de tiempo discreto m es normalmente considerado como un tiempo "lento" y usualmente no se expresa con tan alta resolución como con el tiempo n.

La magnitud cuadrada de la STFT origina el espectrograma de la función:

[pic 3]

STFT inversa

La STFT es invertible, esto es, la señal original puede ser recuperada de la transformación por medio de la STFT inversa. La forma más ampliamente aceptada de invertir la STFT es usando el método suma solapada (overlap-add, OLA), que también permite modificar al espectro complejo de STFT. Esto lo hace un método de procesamiento de señal versátil, referido como el método de solapamiento y suma con modificaciones.

STFT en tiempo continuo

Dado el ancho y definición de la función ventana w(t), se requiere inicialmente que el área de la función ventana sea ajustada así que

[pic 4]

                   Es fácil deducir que

[pic 5]

y

[pic 6]

La transformada de Fourier contínua es

[pic 7]

Substituyendo x(t) de arriba:

[pic 8]

[pic 9]

Cambiando el orden de integración:

[pic 10]

[pic 11]

[pic 12]

Por lo que la Transformada de Fourier puede ser vista como una suma coherente de fases de todos los STFTs de x(t), Debido a que la transformada inversa de Fourier es

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