APLICACION DERIVADA
Enviado por mierdelongo • 25 de Febrero de 2014 • 617 Palabras (3 Páginas) • 426 Visitas
Además de la utilización de la derivada para el cálculo de ciertos límites, (Regla de L’Hôpital), es posible, por medio
de ella, obtener información sobre el comportamiento de una función, lo que permite contar con ciertos criterios
que ayudan a representarla gráficamente.
3.1 Funciones crecientes y decrecientes y su relación con la derivada
Sea f una función continua con ecuación y = f (x), definida en un intervalo [ a, b]. La siguiente es la representación
gráfica de f en el intervalo [ a, b].
a
b
x
5
3 6
x x
Figura 3.1
En la representación gráfica anterior puede observarse la función f es:
1. Creciente en los intervalos ] a, x
3 [ , ] x
5, x
6 [
2. Decreciente en los intervalos ] x
3, x
5 [ , ] x
6, b[
También se tiene que cuando la pendiente de la recta tangente es positiva, la función f crece; y cuando la pendiente
de la recta tangente es negativa, la función decrece.
Note además que en los puntos (x
3, f (x
3
)) , (x
5, f (x
5
)) y (x
6, f (x
6
)) la recta tangente es horizontal, por lo que su
pendiente es cero, es decir, la primera derivada de la función se anula en cada uno de esos puntos.
En los siguientes teoremas se formalizan las apreciaciones anteriores.
Cálculo diferencial e integral, con aplicaciones.. Elsie Hernández S.
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190 APLICACIONES DE LA DERIVADA
Sea f una función continua en un intervalo cerrado [ a, b] y derivable en el intervalo abierto ] a, b[.
1. Si f
0
(x) > 0 para toda x en ] a, b[, entonces la función f es creciente en [ a, b].
2. Si f
0
(x) < 0 para toda x en ] a, b[, entonces la función f es decreciente en [ a, b].
Teorema 3.1
Determinemos los intervalos en que crece o decrece la función con ecuación f (x) =
1
2
(x
2
4x + 1).
Para ello calculemos la primera derivada de f : f
0
(x) = x 2.
Como f
0
(x) > 0 () x 2 > 0, o sea si x > 2, entonces f es creciente para x > 2.
Como f
0
(x)
...