Aplicacion De Las Derivadas

FUNCIÓN

En matemáticas, se dice que una magnitud o cantidad es función de otra si el valor de la primera depende exclusivamente del valor de la segunda.

En análisis matemático, el concepto general de función, aplicación o mapeo se refiere en a una regla que asigna a cada elemento de un primer conjunto un único elemento de un segundo conjunto (correspondencia matemática).

Una función puede representarse de diversas formas: mediante el citado algoritmo para obtener la imagen de cada elemento, mediante una tabla de valores que empareje cada valor de la variable independiente con su imagen o como una gráfica que dé una imagen de la función.

Por otra parte, una función matemática es la correspondencia o relación f de los elementos de un conjunto A con los elementos de un conjunto B. Una función cumple con la condición de existencia (todos los elementos de A están relacionados con los elementos de B) y con la condición de unicidad (cada elemento de A está relacionado con un único elemento de B).

"exactamente uno" significa que la función es univaluada. No devolverá 2 o más resultados para la misma entrada. ¡Así que "f(2) = 7 o 9" no vale!

Cada elemento de "X" se relaciona con un elemento de "Y". Decimos que la función cubre"X" (relaciona cada elemento de)

También fíjate que en el dibujo de arriba hay dos elementos en "X" que se relacionan con el mismo elemento de "Y". No pasa nada. No hay ninguna regla contra esto.

Y finalmente, fíjate en que algunos elementos de "Y" no se relacionan con nada. Eso también vale.

OPERACIÓN CON FUNCIONES

Las funciones pueden definirse en términos de otros objetos matemáticos, como los conjuntos y los pares ordenados. En particular, una función es un caso particular de relación binaria, luego su esta definición está basada en la que se adopte para las relaciones.

Las operaciones de suma, resta, multiplicación y división entre funciones son posibles y semejantes a las correspondientes efectuadas con los números. En esta sección definiremos la composición de funciones y la función inversa de una función; estos dos conceptos composición e inversión de funciones- son importantes en el desarrollo del Cálculo.

SUMA:

Sean f y g dos funciones y supongamos que D y Dg denotan los dominios de f y g, respectivamente. La función f + g está definida por (f + g )(x) = f(x) +g(x)

RESTA

Sean f y g dos funciones y supongamos que Df y Dg denotan los dominios de f y g, respectivamente. La función f - g está definida por (f – g)(x) = f(x) - g(x)

MULTIPLICACIÓN

Sean f y g dos funciones y Df y Dg denotan los dominios de f y g, respectivamente. La función f ⋅ g está definida por (f ⋅ g)(x) = f(x)⋅ g(x)

DIVISIÓN

Sean f y g dos funciones y Df Dg sus dominios respectivamente. Entonces la función f/g está definida por: (f/g)(x) = f(x)/g(x) , g(x) ≠ 0

DEFINICIÓN.

Sean f, g dos funciones reales de variable real. Entonces se pueden definir las siguientes operaciones:

i. SUMA:

ii. DIFERENCIA:

iii. PRODUCTO:

iv. COCIENTE:

NOTA:

En cada uno de los casos anteriores, el dominio de la función resultante, es la intersección de los dominios de f y g. En el caso particular del cociente se deben excluir de la intersección los valores de x que anulen el denominador g.

COMPOSICIÓN DE FUNCIONES:

Bajo ciertas condiciones es posible definir a partir de dos funciones f y g, una nueva función llamada la "compuesta de f y g".

Sean y dos funciones donde coincide el dominio de la segunda con el codominio de la primera. Aunque solo es suficiente que solo sea una parte de él, es decir (Ver fig. 13.).

El propósito es asignar a cada elemento de A un único elemento de C, y el camino natural consiste en determinar la imagen de cualquier x A mediante f, y luego obtener la imagen de f(x) B mediante g

Definición.

Sean y dos funciones. La composición de las funciones f y g, denotada por (g o f) es la función

g o f :

Asi por ejemplo si f y g son las funciones definidas por:

y

Entonces:

Del ejemplo anterior se deduce facilmente que en general:

(g o f)(x)  (f o g)(x).

Se debe tener también cuidado con los dominios de g o f y de f o g. El dominio de g o f es la parte del dominio de f, para los cuales g acepta a f(x) como pre-imagen.

Esto es, D(f) =

Ahora, como g, solo acepta reales positivos de f(x), esto es, valores de x para los cuales:

; se concluye entonces que: D(g o f) = [3, + )

Nótese que (g o f) (1) = g(f(1)) = g(-1) NO ESTA DEFINIDO.

Igualmente, (g o f) (2) = g(f(2)) = g(-1/2) NO ESTA DEFINIDO.

También, el dominio f o g es la parte del dominio de g para los cuales f acepta a g(x) como pre-imagen.

Es decir, D(g) = [0, + ).

Ahora, como f acepta cualquier valor real de g(x), entonces f acepta en particular, los valores de g en el intervalo D(g) = [0, + ). De esta forma:

D(f o g) = [0, + ).

En el cálculo, a menudo se necesita escribir una función dada como la composición de dos funciones. Esto puede hacerse de varias maneras.

Asi

...