Aplicacion De Las Derivadas

APLICACIÓN DE LAS DERIVADAS EN LA ECONOMIA

Introducción

Las derivadas en economía son una herramienta muy útil puesto que por su misma naturaleza permiten realizar cálculos marginales, es decir hallar la razón de cambio cuando se agrega una unidad adicional al total, sea cual la cantidad económica que se esté considerando: costo, ingreso, beneficio o producción.

En otras palabras la idea es medir el cambio instantáneo en la variable dependiente por acción de un pequeño cambio en la segunda cantidad o variable.

De hecho las funciones de costo, ingreso, beneficio o producción marginal son las derivadas de las funciones de costo, ingreso, beneficio, producción total.

3. MARCO TEORICO

3.1 APLICACIONES DE LAS DERIVADAS EN ECONOMIA

Las derivadas en sus distintas presentaciones son un excelente instrumento en Economía, para toma de decisiones, optimización de resultados (Máximos y Mínimos).

3.1.1 Extremos absolutos y puntos críticos

Un problema de mucho interés es buscar la mejor alternativa frente a muchas posibilidades de decisión. En términos matemáticos, muchas veces este planteamiento se traduce en buscar el máximo o el mínimo de una función y donde se alcanza este máximo o mínimo. Cuando la función es cuadrática se pueden determinar estos valores buscando el vértice de la gráfica de este tipo de función. Para funciones más generales, la derivada puede ayudar a resolver este problema. Recordemos primero la definición de valor máximo y mínimo.

Los máximos o mínimos absolutos de una función son llamados extremos absolutos. La palabra absoluto suele ser omitida.

Observaciones:

Una función puede alcanzar un valor mínimo más de una vez. Similarmente puede alcanzar más de una vez un valor máximo.

Hay funciones tales que en un intervalo tienen un máximo pero no tienen mínimo, otras no alcanzan ninguno de los dos extremos o alcanzan ambos. Abajo se muestran algunas posibilidades.

El siguiente teorema establece un resultado para la última situación: si la función es continua y el intervalo es cerrado entonces se puede asegurar la existencia de ambos extremos.

Teorema.- Sea f una función continua en un intervalo cerrado [a,b] entonces f alcanza un máximo y un mínimo absoluto en [a,b].

Una función puede alcanzar un valor mínimo más de una vez. Similarmente puede alcanzar más de una vez un valor máximo.

3.1.2 Extremos absolutos en intervalos cerrados

Volviendo al tema de conseguir extremos absolutos de funciones continuas en un intervalo cerrado, debemos recordar que hay garantía de la existencia de ambos extremos alcanzándose o bien en los extremos del intervalo o bien donde se alcanza los extremos relativos dentro del intervalo. Pero como los extremos relativos son puntos críticos entonces ampliaremos nuestro radio de búsqueda a los extremos del intervalo y a los valores críticos: sólo en estos puntos se alcanza el valor máximo y el valor mínimo de la función.

Para localizarlo sólo tenemos que evaluar la función en estos candidatos y el valor máximo de la evaluación de la f será el valor máximo de la función, similar análisis se hace con el mínimo.

A continuación establecemos esta estrategia por pasos.

Estrategia para encontrar los extremos absolutos de una función continua en un intervalo cerrado [a,b]:

Paso 1.- Encontrar los valores críticos de f en [a,b].

Paso 2.- Evaluar f en los valores críticos y en los extremos del intervalo: a y b.

Paso 3.- El valor evaluado más grande es el máximo y el menor el mínimo.

3.1.2 Monotonía. Criterio de la primera derivada

En esta sección usaremos la derivada de la función para determinar donde la función crece o decrece. Recordemos que los extremos relativos se presentan en los puntos críticos. También en esta sección veremos cómo usar el signo de la primera derivada para clasificar los puntos críticos como máximos o mínimos relativos o ninguno. Antes debemos dar la definición de funciones crecientes y decrecientes en un intervalo I.

Definición

• Una función f se dice estrictamente creciente en un intervalo I si para cualesquiera x_1,x_2 en I, donde x_1<x_2 entonces f(x_1 )<f(x_(2))

• Una función f se dice estrictamente decreciente en un intervalo I si para cualesquiera x_1,x_2 en I, dondex_1>x_2 entonces f(x_1 )>f(x_(2))

Observaciones:

1) La palabra estrictamente se suele omitir.

2)

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