Aplicaciones De Las Derivadas

14-Mayo-2013

UNIDAD V APLICACIONES DE LA DERIVADA

5.1 RECTA TANGENTE Y RECTA NORMAL UNA CURVA EN UN PUNTO

En geometría plana, se la curva es una circunferencia la tangente es un punto P de esta curva se define como la recta que corta a la circunferencia únicamente en un punto P.

En la siguiente figura la recta que debería ser la tangente a la curva en el punto P, corta la curva en otro punto Q

Sea la función f continua en X_1; se desea definir la pendiente de la recta tangente a la gráfica de f en f(x_1 f(x_1 )). Sea "Ι" el intervalo abierto que contiene a X_1 en el cual está definido f. Sea Q(x_2,f(x_2 )) otro punto sobre la grafica de f talque X_2 también está en "Ι" tracemos una recta a través de (P,Q); cualquier recta que pase por dos puntos de una curva se llama recta secante; el punto Q puede estar ya sea a la izquierda o a la derecha del punto P.

P(x_1,f(x_1 ))

Representemos la diferencia de las abscisas de Q y de P por dx de manera que dx=x_2-x_1; donde dx denota una variación en valor de x cuando x cambia de X_1 a X_2, y puede ser negativa o positiva; a esta variación se le denomina incremento en X

El símbolo de dx para un incremento de X no significa d multiplicando por x

m_pq=(f(x_2 )-f(x_1))/∆x=(Y_2-Y_1)/(X_2-X_1 )

La recta tangente a la gráfica de f en el punto P(x_1 f(x_1 )) es:

La recta a través de P cuya pendiente m(x_1 )=lim┬(Δx→0)⁡〖(f(x_(1+∆x)-f(x_1)))/∆x〗 si el limite existe

La recta x=x_1 si lim┬(Δx→+0)⁡〖(f(x_(1+∆x)-f(x_1)))/∆x〗 es +∞ o -∞ y lim┬(Δx→-0)⁡〖(f(x_(1+∆x)-f(x_1)))/∆x〗 es +∞ o -∞

Ejemplo: Dada la parábola y=x^2 en las partes (a) a (c) determinar la pendiente de la secante a través de los dos puntos

(2, 4) , (3, 9)

(2, 4) , (2.1, 4.41)

(2, 4) , (2.01, 4.0401)

Hallar la pendiente de la tangente a la parábola en el punto (2, 4)

a) (2, 4) , (3, 9)

m_a=(Y_2-Y_1)/(X_2-X_1 )=(9-4)/(3-2)=5/1=5

m_b= (4.41-4)/(2.1-2)=.41/.1=4.1

m_c= (4.0401-4)/(2.01-2)=.0401/.01=4.01

d) Hallar la pendiente de la tangente a la parábola en el punto (2, 4)

m_d= lim┬(∆x→0)⁡〖(f(x_1+∆x)-f(x))/∆x〗

=lim┬(∆x→0)⁡〖(f(2+∆〖x)〗^2-f(2))/∆x〗

=lim┬(∆x→0)⁡〖((4+4∆x+(∆〖x)〗^2-(〖2)〗^2)/∆x〗

=lim┬(∆x→0)⁡〖(4+4∆x+(∆〖x)〗^2-4)/∆x〗

=lim┬(∆x→0)⁡〖(4∆x+(∆〖x)〗^2)/∆x〗

=lim┬(∆x→0)⁡〖(4+(∆x))/∆x〗

=lim┬(∆x→0)⁡〖4+(∆x)=4+(0)=4〗

=lim⁡4 la pendiente de la tangente que toca un punto a la curva

16-Mayo-2013

Ejemplo: Determinar la pendiente mediante límites de la recta tangente a la curva de las siguientes funciones en el punto (x, y)

Luego obtener la ecuación de la tangente en el punto que se indica

f(x)=3x^2-3x+2 (-2,4)

f´(x)=lim┬(∆x→0)⁡〖(f(x+∆x)-f(x))/∆x〗

=lim┬(∆x→0)⁡〖([3(x+∆〖x)〗^2-3(x+∆x)+2)-(3x^2-3x+2)])/∆x〗

=lim┬(∆x→0)⁡〖([3(x^2+2x(∆x)+3(∆〖x)〗^2+2-3x-3(∆x)-3x^2+3x-2])/∆x〗

=lim┬(∆x→0)⁡〖(3x^2+6x(∆x)+3(∆〖x)〗^2+2-3x-3(∆x)-3x^2+3x-2)/∆x〗

=lim┬(∆x→0)⁡〖(6x(∆x)+3(∆〖x)〗^2-3(∆x))/∆x〗

=lim┬(∆x→0)⁡〖6x+3(∆x)-3〗

=6x+3(0)-3

=6x-3

Sustituir -2

m=6(-2)-3

m=-15

Ecuación de la recta tangente

y-y_0=m(x-x_1)

y-4=-15(x-(-2)

y-4=-15x-30

y=-15x-30+4

y=-15x-26

Ejercicios: Determinar la pendiente mediante límites de la recta tangente a la curva de las siguientes funciones en el punto (x,y) . Luego obtener la ecuación de la tangente en el punto que se indica

17-Mayo-2013

5.2 EL TEOREMA DE ROLLE

Llamado así en honor al matemático francés Michelle Rolle (1652-1719).

TEOREMA:

Si f continúa en el intervalo cerrado [A,B] derivable en el intervalo abierto (A,B) f(0)=f(b) entonces existe al menos un número C en (A,B) tal que f´c=0

COROLARIO DE TEOREMA DE ROLLE

Si f coninua en el intervalo cerrado [A,B]. Si f a es igual a f b, entonces f tiene algún numero critico en el intervalo (A,B) .

Ejemplo de aplicación al teorema de rolle:

Hallar las dos intersecciones con el eje x de la gráfica de f(x)=x^2-3x+2 y probar que f´(x)=0 en algún punto entre ellos

Igualo a cero f(x)

x^2-3x+2=0

Factorizo

(x-1)(x-2) = x^2-2x-x+2

Raíces igualo a cero cada termino

x-1=0 x-2=0

x_1=1 x_2=2

Para encontrar punto crítico de c

Derivo la función f(x)

f(x)=x^2-3x+2

f´(x)=2x-3

Igualo a cero

2x-3=0

Despejo x

2x=3 ∴ x=3/2

Para completar las coordenadas

sustituyo x=3⁄2 en f(x)

f(3⁄2)=〖(3⁄2)〗^2-3(3⁄2)+2

=(9⁄4)-9(2)/2(2) +(2)(4)/4(1)

=9⁄4-18⁄4+8⁄4

=-1⁄4 valor de y

Coordenada (3⁄(4,)-1⁄(4))

Comprobamos f´(c)=0

f´(x)=2x-3

f´(3⁄2)=2(3⁄2)-3

=6⁄2-3

=3-3 ∴ 0

Gráfica:

Ejemplo 2 : sea f(x)=x^4-2x^2 hallar todos los números c en el intervalo abierto (2,2) tales que f´(0)=0

Para verificar que se aplica el teorema rolle

sustituyo los valores del intervalo en f(x) para saber

si es aceptable o no el teorema de rolle

f(-2)=〖(-2)〗^4-2〖(-2)〗^2

=8

f(2)=〖(2)〗^4-2〖(2)〗^2

=8

Derivamos e igualo a cero

f(x)=x^4-2x^2

f´(x)=4x^3-4x

4x^3-4x=0

Factorizo

4x(x^2-1)=0

x^2-1=0/4x

Y obtengo un valor crítico

x=0

Despejo x^2-1

x^2-1=0

x^2=1

x=±√1

x_2=1

x_3=-1

Ordenamos los puntos críticos encontrados

empezando por el menor valor:

x_1=-1, x_2=1, x_3=1

Para graficar completamos las coordenadas

para x=-2

y=(-〖2)〗^4-2(-〖2)〗^2=8 ∴ (-2,8)

para x=2

y=8 ∴ (2,8)

para x=-1

y=(-〖1)〗^4-2(-〖1)〗^2=-1 ∴ (-1,-1)

para x=0

y=0 ∴ (0,0)

para x=1

y=(〖1)〗^4-2(〖1)〗^2=-1 ∴ (1,-1)

Gráfica:

20-Mayo-2013

Ejercicios: En los siguientes ejercicios determine si es aplicable o no el teorema de rolle a f sobre el intervalo que se especifica si es aplicable, hallar todos los valores c donde la pendiente de la tangente es igual a cero f´(x)=0 trace también la grafica.

21-Mayo-2013

5.4 TEOREMA DEL VALOR MEDIO

Sea f(x) una función tal que:

Sea continua en el intervalo cerrado [A,B]

Sea diferenciable en el intervalo abierto (A,B)

Entonces existe un c en el intervalo abierto (A,B) tal que:

f´(c)=(f(b)-f(a))/(b-a)

Es la pendiente de segmento rectilíneo que une los puntos A(a,f(a)) y B(b,f(b)) .

Ejemplo: Dada f(x)=x^2-5x^2-3x verificar que la hipótesis del teorema del valor medio es válida para a=1 y b=3 luego encontrar todos los números c en el intervalo abierto (1,3) y obtener la grafica

Sustituimos en la función prima las coordenadas:

f´(c)=(f(b)-f(a))/(b-a)=([(〖3)〗^3-5(〖3)〗^2-3(3)]-[(〖1)〗^3-5(〖1)〗^2-3(1)])/(3-1)

=([27-45-9]-[-7])/2

=(-27+7)/2=(-20)/2=-10

Para encontrar los valores de c derivo e igualo,

En este caso -10 que es el resultado de la función prima

f(c)=x^3-5x^2-3x

f´(c)=3x^2-10x-3 que es lo mismo 3c^2-10c-3

f´(c)=3c^2-10c-3=-10

Igualo a cero

3c^2-10c-3+10=0

3c^2-10c+7=0

Factorizar

(3c-7)(c-1) = 3c^2-3c-7c+7

Despejo cada termino

3c-7=0 c-1=0

3c=7 c=1

c=7⁄3

Evaluar f´(c)

f´(c)=3c^2-10c-3

f´(7⁄3)=3〖(7⁄3)〗^2-10(7⁄3)-3

=3(49⁄9)-70⁄3-3

=(147⁄9)-210⁄9-27⁄9

=-90⁄9

=-10

Para graficar sustituyo en la función original

para x=1

=x^3-5x^2-3x ∴ =(1)^3-5(〖1)〗^2-3(1)

y=-7 ∴ (1,-7)

Para x=3

...