Actividad 2. Razón de cambio y tangente de una curva

Actividad 2. Razón de cambio y tangente de una curva.

Resuelve los siguientes problemas sobre razón de cambio y tangente de una curva.

Un recipiente en forma de cono invertido de de altura y de radio está lleno con un líquido, este sufre una avería y el líquido comienza a fluir con una velocidad de . ¿Con qué velocidad baja el líquido cuando ha descendido de altura?

El volumen de un cono es V=1/3 π ∙ r^2 ∙h

Donde inicialmente hay V =1/3 π ∙ 4 ∙10 = 40π/3 m^3

En el instante t el volumen del cubo será V = 40π/3-0.8 t

Para determinar la altura del líquido en función del tiempo

1/3 π ∙〖[ r^ (t)]〗^2= 40π/3-0.8 t

Para poder realizarlo consideremos que la altura del líquido, el radio a esa altura y el segmento de pared que los une forman un triángulo rectángulo, el cual tiene siempre los mismos ángulos, resultan triángulos semejantes y por lo tanto los lados son proporcionales de tal modo que:

(r(t))/(h(t))= 2/10=1/5 r(t)= (h(t))/5 〖[r(t)]〗^(2 )= 〖[h(t)]〗^2/25

Sustituyendo queda

(1/3)π ∙ [h (t)]^3/25= (40 π)/3-0.8 t

h(〖t)〗^3= (75 (40π/3)-0.8 t)/π h(〖t)〗^ = ∛((75 (40π/3)-0.8 t)/π)

Cuando desciende 4m tiene 6m de altura, calculamos t

6=∛(75( (40 π)/3-0.8 t)/π) elevando al cubo 216= (75 (40π/3)-0.8 t)/π

(216 π)/75=40π/3-0.8 t 0.8 t=40π/3- (216 π)/75= (40 ∙25-216)π/75=(784 π)/75

t=((10/8)784 π)/75=7840π/600= 196π/15

Y la derivada de la altura respecto del tiempo es

h´(t )=(1/3) [(75((40 π)/3-0.8t))/π]^(1⁄3) ∙ ((-75 ∙0.8)/π)

=(20/( π)) [(75((40 π)/3-0.8t))/π]^((-2)⁄3)

Luego:

h´((196 π)/5)= -(20/( π)) [75((40 π)/3-0.8t)/π]^((-2)⁄3) =-(20/( π)) [1000-784]^((-2)⁄3) = (-20[216]^((-2)/3))/π= (-20 )/(36 π)= (-5)/(9 π)

= -0.176838 m⁄s

Se infla un globo en forma esférica de modo que su volumen se incrementa con una velocidad de . ¿A qué razón aumenta el diámetro cuando éste es de ?

Considerando el volumen como función del diámetro y el diámetro como función del tiempo.

V (t)=3t con t en minutos y V en m^3 su derivada es dv/dt=3

Ahora ponemos el volumen como función del diámetro aplicando la fórmula del volumen de la esfera

V(d)=(4/3)π (d/2)^3

Ahora derivamos esto con respecto a t tomando en cuenta que d es una función del tiempo

dV/dt=dV/dd∙ =4/3 π ∙3(d/2)^2∙(1/2)∙dd/dt=(πd^2)/2∙dd/dt

Luego dd/dt= dV/dt ∙ 2/(πd^(2 ) ) como dV/dt=3 ∴ dd/dt= 6/(π d^2 )

Y la derivada cuando d=10 será dd/(dt ) =6/(π〖10〗^2 )= 3/50π

Un niño juega con un papalote a que está a una altura de corriendo horizontalmente con una velocidad de . Si hilo que sujeta el papalote esta tenso, ¿a qué razón se afloja cuando la longitud del hilo suelto es de ?

Considerando x (t) a la distancia que a recorrido el niño en el suelo

x(t)=0.75 t dx/dt=0.75

Expresamos también x como una función del hilo que se ha soltado h (t), eso se obtiene con el teorema de Pitágoras

x^2+ 〖25〗^2= h^2 x=√(h^2-625)

Ahora se calcula la derivada de x respecto de t por la regla de la cadena, siendo x función de h y h función de t

dx/dt=dx/dh ∙ dh/dt= h/√(h^2+625) ∙ dh/dt entonces dh/dt= (0.75 √(h^2-625))/h

por lo tanto dh/dt= (0.75 √(〖60〗^2-625))/60=0.6817 m⁄s

Un helicóptero vuela hacia el norte con una velocidad de a una altura de , en ese instante, el rayo de luz de un faro ubicado en la tierra señala la parte inferior del helicóptero. Si la luz de mantiene señalando al helicóptero, ¿con qué velocidad gira el rayo de luz cuando el avión se encuentra a una distancia horizontal de al sur del faro?

H(t) H (0)

F

H (o) es el helicóptero al principio y H (t) en el instante t, F es el faro.

Un triángulo estará dado por estos tres puntos ( H(0), H(t) , F), su ángulo α se puede calcular como aquel cuya tangente es:

(H(t))/70= (50 t )/70= 5t/7

Tomando en cuenta calcular de forma indirecta la derivada haciendo derivación en cadena de H como función de α

H(t)=50t dH/dt=50 (H(∝))/70=tan⁡〖(∝) H(∝)=70∙tan⁡〖(α)〗 〗

Luego

50= dH/dt=dH/dα ∙ dα/dt=70 (1+〖tan〗^2 α )∙dα/dt entonces

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