Actividad: Investigación de los números complejos (clasificación)

Universidad autónoma de Chiapas[pic 1]

          UNACH

         Facultad de Ingeniería

Nombre del alumno: Fernando Morales Márquez.

Grupo: 1°D.

Profesora: Samayoa Aquino Iveth Adriana M.I.

Fecha y lugar: Tuxtla Gutiérrez, Chiapas a miércoles 02 de septiembre del 2020.

Actividad: Investigación de los números complejos (clasificación).

Materia: Algebra Superior.

Actividad: Actividad de aprendizaje.

NUMEROS COMPLEJOS

Los números complejos conforman un grupo de cifras resultantes de la suma entre un número real y uno de tipo imaginario. Un número real, de acuerdo con la definición, es aquel que puede ser expresado por un número entero (4, 15, 2686) o decimal (1,25; 38,1236; 29854,152). En cambio, un número imaginario es aquél cuyo cuadrado es negativo. En cambio, un número imaginario es aquél cuyo cuadrado es negativo. El concepto de numero imaginario fue desarrollado por Leonhard Euler en 1777, cuando le otorgo a v-1 el nombre de i (imaginario).

Forma binómica o rectangular.

La forma binómica de un número complejo es la expresión a+bi, a se llama la parte real y b la parte imaginaria. Si la parte imaginaria es nula, entonces el número es real. Por tanto, los números reales están contenidos en los números complejos. Se llaman números imaginarios puros a los que tienen parte real igual a cero.

[pic 2]

Representación gráfica de los números complejos binómicos.

Dado que hemos definido un número complejo como un par ordenado de números reales, es natural interpretarlo como un punto del plano. En el eje de abscisas (eje real) ubicaremos los complejos de parte imaginaria nula. Y en el eje de ordenadas (eje imaginario) ubicaremos los imaginarios puros:[pic 3]

Operaciones.

Para sumar o restar números complejos en forma binómica se suman o se restan las partes reales y las partes imaginarias.

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[pic 5]

Para multiplicar números complejos en forma binómica se multiplican como binomios teniendo en cuenta que: [pic 6][pic 7]

[pic 8]

El conjugado de un número complejo de obtiene al cambiar el signo de la parte imaginaria y se representa por.[pic 9]

El conjugado de  se define así:  .[pic 12][pic 10][pic 11]

Observamos que y  son simétricos respecto del eje real, como muestra la siguiente figura: [pic 15][pic 13][pic 14]

[pic 16]

Para dividir dos números complejos en forma binómica se multiplica el numerador y el denominador por el conjugado del denominador.[pic 17]

[pic 18]

[pic 19]

Propiedades.

Si observamos detenidamente la forma de un número complejo cualquiera  podemos deducir las siguientes características:[pic 20]

° Si b = 0, el número complejo es básicamente el número real a. Esto pone de manifiesto lo que comentábamos en apartados anteriores: los números reales son un subconjunto de los números complejos (ℝ⊂ℂ) y la representación de estos últimos es compatible con la de los reales ya que en este caso cualquier número real se encontrará sobre el eje real (la recta real).

° Si a = 0, el número complejo posee sólo parte imaginaria y recibe el nombre de número imaginario puro. Se representan con un punto situado directamente sobre el eje real.

° Si a = 0 y b = 0, el número se denomina número complejo cero y al representarse su afijo se encuentra sobre el origen de coordenada.

Los números reales son un subconjunto de los números complejos[pic 21]

En la figura se muestra el número real -2 que se representa como un punto sobre la recta real, el número imaginario puro  que se representa como un punto sobre el eje imaginario y el cero que se localiza en el origen de coordenadas.[pic 22]

Observa que el -2 además de ser un número real es también un número complejo. Esto es debido a que los números reales son un subconjunto de los complejos.

° Se dice que dos números complejos,  y , son iguales si sus partes real e imaginaria son iguales, es decir, si se cumple que y .[pic 23][pic 24][pic 25][pic 26]

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Número complejo opuesto

El opuesto (-Z) de un número complejo cualquiera (Z) posee su parte real e imaginaria con signo opuesto. Gráficamente ambos números se representan simétricos respecto al origen de coordenadas.

Forma polar o trigonométrica.[pic 28]

Donde r, corresponde al módulo (también puedes verlo representado con la letra m), que es la longitud que mide el vector que forma el número complejo: [pic 29]

Por otro lado, α es el argumento: [pic 30]

El argumento es el ángulo que forma el número complejo con el semieje positivo del eje x, medido siempre en sentido contrario de las agujas del reloj.

El número complejo en forma polar se representa de la siguiente forma:[pic 31][pic 32][pic 33]

[pic 34][pic 35]

[pic 36]

[pic 37]

Transformación.

Cómo pasar un número complejo de forma binómica a forma polar; vamos a ver cómo pasar un número complejo que tenemos expresado en forma binómica, a su forma polar.

Partimos de un número complejo en forma binómica:

[pic 38]

[pic 39]

Al representarlo, tomando su parte real en el eje real y su parte imaginaria en el eje imaginario, queda de la siguiente manera:

[pic 40]

Tal y como tenemos la representación de este número complejo, la longitud que mide corresponde al módulo y el ángulo que forma con el semieje positivo del eje x, corresponde al argumento: 

Por tanto, podemos calcular el módulo a partir de las componentes del número complejo en forma binómica, mediante la siguiente fórmula:  [pic 41]

esta fórmula se obtiene mediante Pitágoras, con el triángulo rectángulo que se forma con el vector, el eje x y la línea vertical que dibujamos desde el punto a.

Por otro lado, podemos calcular el argumento mediante la tangente de ese ángulo, ya que conocemos lo que miden cada uno de los catetos de ese triángulo (el cateto contiguo mide b y el cateto opuesto mide a). Por tanto:

[pic 42]

esta fórmula no nos da directamente el valor del argumento, ya que tenemos dos posibles valores que se diferencian en 180º y que tienen la misma tangente. Para saber cuál de los dos ángulos es el correcto, tenemos que representar el número complejo, lo cual nos permitirá saber el cuadrante donde se encuentra el ángulo.

Ejemplo: [pic 43]

Pasar el siguiente número complejo en forma binómica a forma polar:[pic 44]

En primer lugar, calculamos el módulo con la fórmula:

Sustituimos  por -4 que es la parte real y  por 3, que es la parte imaginaria:[pic 45][pic 46]

[pic 47][pic 48]

El módulo es igual a 5.[pic 49]

Ahora vamos a calcular el argumento, con la fórmula: [pic 50]

Sustituimos a y b, por -4 y 3 respectivamente: 

Hemos obtenido un posible valor del argumento. Vamos a ver si es el correcto o no. Como te he indicado antes, existen dos ángulos para los cuales, el valor de su tangente es la misma. Y la calculadora solamente nos da uno de ellos.

Representamos el número complejo:

[pic 51]

El ángulo correcto está en el segundo cuadrante, mientras que el ángulo de -36, 86º obtenido está en el cuarto cuadrante. Para hallar ese ángulo correcto, sólo tenemos que sumar 180º al ángulo que hemos obtenido: [pic 52][pic 53][pic 54]

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