Ajuste De Curvas

AJUSTE DE CURVAS

A DATOS DE MEDICIONES

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Ajustar una curva implica ajustar una función g(x) a un conjunto de datos dado, (xi,yi), y = 1, 2, ..., L. La función g(x) es un polinomio, una función no lineal o una combinación lineal de funciones conocidas. La función g(x) que se elige para ajustar una curva contiene cierto número de coeficientes no determinados. En general, el número de puntos de datos por ajustar, L, es mayor que el número de coeficientes no determinados, k; por tanto, el método para determinar los coeficientes se basa en la minimización de las discrepancias entre la función determinada y los puntos de datos, y recibe el nombre de método de mínimos cuadrados. En el caso especial de L = k, el ajuste de la curva se reduce a un problema de interpolación porque la curva ajustada pasa por los puntos de datos.

1.- AJUSTE DE LÍNEAS RECTAS

Supongase que interesa ajustar una función lineal al conjunto de datos de la tabla 1.1. La línea ajustada a un conjunto de datos se denomina línea de regresión.

TABLA 1.1

i x y

1 0.1 0.61

2 0.4 0.92

3 0.5 0.99

4 0.7 1.52

5 0.7 1.47

6 0.7 2.03

La función lineal se expresa con

1.1

En donde c1 y c2 son constantes no determinadas. El número de puntos de datos es mayor que 2, la línea no se ajusta a todos los puntos, se determina minmizando las discrepancias entre la línea y los datos. La desviación de la línea respecto de los puntos está definida por:

1.2

donde L es el número total de puntos de datos (6 en este ejemplo) y c1 y c2 son la constantes por determinar.

La suma de las desviaciones elevadas al cuadrado es:

1.3

El mínimo de R ocurre cuando las derivadas parciales de R respecto de c1 y c2 son cero:

1.4

La ecuación 1.4 puede reescribirse así:

1.5

donde

La solución de la ecuación 1.5 es

Una forma equivalente de determinar los coeficientes es considerar el problema como una ecuación líneal sobredeterminada. Por ejemplo, si todos los puntos de datos de la tabla 1.1 satisfacen la ecuación 1.1, escribimos:

; i = 1, 2, ... , L

o bien

1.6

donde

, ,

Se dice que la ecuación 1.6 es una ecuación lineal sobredeterminada porque el número de ecuaciones, L , es mayor que el número de incógnitas. Para obtener la solución, premultiplicamos a la ecuación 1.6 por la transpuesta de A:

1.7

Puesto que AtA se convierte en una matriz cuadrada de 2 por 2 y Aty se convierte en un vector de longitud 2, la ecuación 1.7 es un problema normal de 2 por 2. La solución se obtiene con:

La solución anterior concuerda con la ecuación 1.6

También podemos resolver una ecuación sobredeterminada en MATLAB con sólo:

Lo mismo puede lograrse también con polyfit. Supongamos que x y y son los conjuntos de datos por ajustar; entonces,

c = polyfit(x, y, 1)

devolverá los coeficientes c1 y c2 en el vector c, donde el tercer argumento, "1", es el orden del polinomio ajustado y que en el caso de una línea recta es la unidad.

Ejemplo 1

Determinar la línea de regresión para los datos de la tabla 1.1 (y) resolviendo la ecuación 1.5 y (ii) utilizando el comando polyfit. Una vez obtenida la línea de regresión, examine la desviación de la línea respecto de los datos.

Solución

Calculamos los coeficientes de la ecuación 1.5 como sigue:

a2,1 z2 a1,1 z1

i xi yi xi2 xiyi

1 0.1 0.61 0.01 0.061

2 0.4 0.92 0.16 0.368

3 0.5 0.99 0.25 0.495

4 0.7 1.52 0.49 1.064

5 0.7 1.47 0.49 1.029

6 0.9 2.03 0.81 1.827

Total; 3.3 7.54 2.21 4.844

De la tabla anterior obtenemos

a1,1 = 2.21, a1,2 = 3.3, z1 = 4.844

a2,1 = 3.3, a2,2 = 6, z2 = 7.54

Así, la ecuación 1.5 se convierte en

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