Algebra Lineal

Computación gráfica es la rama de las ciencias de la computación que se encarga del estudio, diseño y trabajo del despliegue de imágenes en la pantalla de un computador a través de las herramientas proporcionadas por la física, la óptica, la térmica, la geometría, etc.

La Computación Gráfica nace en 1955 con SAGE (Semi-Automatic Ground Environment), una máquina creada durante la Guerra Fría por el ejército de los Estados Unidos para rastrear a las naves aéreas que ingresaban al espacio aéreo norteamericano. Esta máquina se integró a los sistemas de radar de la época para proveer la primera aplicación de computación gráfica interactiva.

En 1963, en el MIT (Massachussets Institute of Technology) Ivan Sutherland presentó su programa Sketchpad (“Tablero de dibujo”) inspirado en la idea de “integrar la representación numérica de un objeto con su representación gráfica, para que al manipular la representación gráfica se pudiera manipular al mismo tiempo la representación numérica.”

Computación grafica estudia los conceptos y algoritmos relacionados con la edición y producción de gráficas por computadora, la computación gráfica comprende una gran variedad de técnicas que pueden ser agrupadas de acuerdo al número de dimensiones que se empleen en la representación del modelo geométrico a visucaliza en 2D y 3D.

En computación gráfica, al igual que en diversos campos de la ingeniería el estudio de las matemáticas puras permite obtener resultados e implementar conceptos que tiene relevancia, como los cuaterniones, que son un concepto del algebra moderna que en la actualidad se puede implementar para generar animaciones en 3D.

En la actualidad el estudio de las matemáticas puras es una de las áreas del conocimiento donde los ingenieros cada día están incursionando con mayor fuerza, ya que la mayor parte de las investigaciones que en la actualidad se realizan se requiere no solamente de una buena formación en el manejo algebraico, sino además de una manejo conceptual claro y amplio de las matemáticas. Una de las áreas de la ingeniería donde más se requiere de esta formación rigurosa es la computación gráfica. Una de las relaciones que existe entre el álgebra superior o abstracta y la computación grafica tiene que ver con los cuaterniones de Hamilton y la rotación de objetos en 3D.

Los cuaterniones de Hamilton fueron estudiados por William Rowan Hamilton en 1843 y puestos al servicio de la computación más de un siglo y medio después.

Para entender esta relación, debemos presentar unos conceptos de antemano.

Matrices de rotación

Los métodos para trasladar, escalar y hacer girar objetos de tres dimensiones son una aplicación de los métodos de dos dimensiones incluyendo consideraciones para la coordenada z. En dos dimensiones la matriz de dotación está dada por la ecuación:

donde la matriz de rotación resulta ser:

Las ecuaciones de rotación del eje z se desarrollan fácilmente a tres dimensiones:

En forma de coordenadas homogéneas como:

De igual forma se puede obtener la ecuación de la rotación respecto al eje x con su representación en coordenadas homogéneas. Así

Representación en coordenadas homogéneas

De forma análoga se puede encontrar una representación de las coordenadas homogéneas para la rotación respecto al eje y

En todas la ecuaciones anteriores x’, y’, z’ representa la rotación del punto de coordenadas x, y, z; y θ representa el ángulo de rotación.

En particular podemos apreciar que las rotaciones se dan con un manejo matricial.

Cuaterniones.

La historia de cómo descubrió los cuaterniones el matemático irlandés William Rowan Hamilton (1805–1865).

Se dice que esto ocurrió el 16 de octubre 1843 mientras estaba caminando sobre el Puente de “Broome” en Dublín y tras más de dos décadas echándole cabeza a la multiplicación de tripletas, pues había estado buscando una manera de extender el sistema de números complejos a tres dimensiones de tal forma que permitiera describir las rotaciones tridimensionales respecto a un eje arbitrario

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