Analicis Vectorial

VECTOR

En física, un vector (también llamado vector euclidiano o vector geométrico) es una herramienta geométrica utilizada para representar una magnitud física definida por su módulo, su dirección y su sentido.

En matemáticas se define un vector como un elemento de un espacio vectorial, esta noción es más abstracta y para muchos espacios vectoriales no es posible representar sus vectores mediante el módulo, la longitud y la orientación.

Los vectores en un espacio euclídeo se pueden representar geométricamente como segmentos de recta dirigidos en el plano R2 o en el espacio R3.

Definición

Se llama vector de dimensión n a una tupla de n números reales (que se llaman componentes del vector). El conjunto de todos los vectores de dimensión n se representa como Rn.

Así, un vector perteneciente a un espacio se representa como:

v=(a_(1,) a_2,a_(3 ),…,a_n) , donde v ϵ R^n

Un vector fijo del plano es un segmento orientado, en el que hay que distinguir tres características:

módulo: la longitud del segmento.

dirección: la orientación de la recta.

sentido: indica cual es el origen y cual es el extremo final de la recta.

Componentes de un vector

Un vector en el espacio se puede expresar como una combinación lineal de tres vectores unitarios o versores perpendiculares entre sí que constituyen una base vectorial.

En coordenadas cartesianas, los vectores unitarios se representan por i, j, k paralelos a los ejes de coordenadas x, y, z positivos.

Las componentes del vector en una base vectorial predeterminada pueden escribirse entre paréntesis y separadas con comas:

a=(a_x,a_y,a_z)

o expresarse como una combinación de los vectores unitarios definidos en la base vectorial. Así, en un sistema de coordenadas cartesiano, será:

a=ia_x+ja_y+ka_z

Estas representaciones son equivalentes entre sí, y los valores ax, ay, az son las componentes de un vector que, salvo que se indique lo contrario, son números reales.

Una representación conveniente de las magnitudes vectoriales es mediante un vector columna o un vector fila, particularmente cuando están implicadas operaciones matrices, del modo siguiente:

a= [■(a_x@a_y@a_z )] a= [■(a_x&a_y&a_z )]

Suma de vectores

Para sumar dos vectores libres (vector y vector) se escogen como representantes dos vectores tales que el extremo final de uno coincida con el extremo origen del otro vector.

Método del paralelogramo

Este método permite solamente sumar vectores de dos en dos. Consiste en disponer gráficamente los dos vectores de manera que los orígenes de ambos coincidan en un punto, trazando rectas paralelas a cada uno de los vectores, en el extremo del otro y de igual longitud, formando así un paralelogramo. El vector resultado de la suma es la diagonal de dicho paralelogramo que parte del origen común de ambos vectores.

Método del triángulo o método poligonal

Consiste en disponer gráficamente un vector a continuación de otro, ordenadamente: el origen de cada uno de los vectores coincidirá con el extremo del siguiente. El vector resultante es aquel cuyo origen coincide con el del primer vector y termina en el extremo del último.

Método analítico para la suma y diferencia de vectores

Dados dos vectores libres:

a=(a_x i,a_y j,a_z k)

b=(b_x i,b_y j,b_z k)

El resultado de su suma o de su diferencia se expresa en la forma

a±b=(a_x i+a_y j+a_z k)±(b_x i+b_y j+b_z k)

y ordenando las componentes,

a±b=(a_x±b_x )i+(a_y±b_y )j+(a_z±b_z )k

EJEMPLOS

Dibujar las siguientes combinaciones lineales con los vectores:

u=[█(2@4)] y v=[█(-1@1)].

1/2 u-3v

-2u-4v

u+3/4 v

-1/3 u+2v

Solución

1/2 u-3v

-2u-4v

u+3/4 v

-1/3 u+2v

PRODUCTO PUNTO

Es una operación definida sobre dos vectores de un espacio euclídeo cuyo resultado es un número o escalar. Esta operación permite explotar los conceptos de la geometría euclidiana tradicional: longitudes, ángulos, ortogonalidad en dos y tres dimensiones. El producto escalar puede definirse también en los espacios euclídeos de dimensión mayor a tres, y en general en los espacios vectoriales reales y complejos. Los espacios vectoriales dotados de producto escalar reciben el nombre de espacios prehilbertianos

Definición:

El producto punto entre dos vectores A y B denotados por A∙B, se define como sigue:

Si A=〈a_1,a_2 〉 y B=〈b_1,b_2 〉 son dos vectores de V2 entonces A∙B= a_1 b_1+a_2 b_2

Si A=〈a_1,a_2,a_3 〉 y B=〈b_1,b_2,b_3 〉 son dos vectores de V3 entonces A∙B= a_1 b_1+a_2 b_2+a_3

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