Aplicaciones A La Resistencia De Elementos Estructurales

UNIVERSIDAD PRIVADA DE TACNA

FACULTAD DE INGENIERÍA

ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERIA CIVIL

Trabajo Final

"APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES"

DOCENTE: Mg. Arcadio Atencio Vargas

CICLO: VI Grupo A

TEMA: Aplicaciones a la resistencia de elementos estructurales

PRESENTADO POR:

Cahuana Alave, Jesus W.

Franco Gómez Choque

Alexis Arpa Díaz

TACNA – PERU

2014

INTRODUCCION :

El presente trabajo de investigación se a realizado para demostrar las aplicaciones de las Ecuaciones Diferenciales en la resistencia de los elementos estructurales como vigas, columnas, cables de acero, etc. Todos estos materiales son partes esenciales en las obras de ingeniería.

Hoy en dia en el Peru y resto del mundo la ciencia ha ido avazando a pasos agigantados, puesto que en la ingenieria ha ido creciendo mucho por ello puesto que el estudio de obras de edificacion o de obras hidraulicas o de la electricidad conlleva a calculos muy avansados , pero tanto a sido este avance que los investigadores , cientificos e ingenieros necesitaban un herramienta que les permita profundisar en su laborioso trabajo , fue asi que aparecio las ecuaciones diferenciales , que permitieron asu ves simplificar y facilitar los calculos de calculos tan complejos que no tenian mucho sentido pero gracias a esta herramienta tan indispensable los cientificos , investigadores e ingenieros pueden explicar los fenomenos que ocurren en la naturaleza.

OBJETIVOS:

Realizar comparaciones de la parte teórica de las matemáticas con la realidad.

Aplicación de métodos matemáticos para la obtención de cálculos en las obras de la ingeniería civil.

Entender claramente para que sirve y como se usan las ecuaciones diferenciales en la ingeniería civil.

La aplicación correcta en la resistencia de materiales con los conceptos breves explicados anteriormente

El estudiante comprenda que las ecuaciones diferenciales nos ayudan a entender los fenómenos de la naturaleza en nuestro caso la deflexión de un viga

Resolver las dudas que hay sobre este tema puesto que se llevar en estudios más adelante y servirá como base para el respectivo estudio

BREVE TEORIA SOBRE LA DEFLEXION EN VIGAS

TEORÍA BÁSICA DE VIGAS DE EULER-BERNOUILLI

Se considera una viga de plano medio, recta de longitud de un material elástico lineal, bajo carga en el plano XY y considerando pequeñas deformaciones:

Hipótesis Desplazamientos

v(x,y,z) = v(x)

w(x,y,z) = 0

Hipótesis de Normalidad

Todos los puntos situados sobre una normal a la fibra media después de la deformación están situados sobre una recta normal a la fibra media deformada.

u(x) es la deformación por el efecto axil desacoplada de la flexión.

Con estas hipótesis el campo de deformaciones viene dado por:

Las tensiones vienen dadas por:

Las hipótesis aplicadas conducen a que xy=0 lo que implica que Q=0 lo que está en contradicción con el equilibrio de las fuerzas verticales.

El resultado de referir las tensiones a la fibra neutra es lo que conoce como esfuerzos:

Como y está referida al centro de gravedad de la sección

Y resulta

en función de criterios anteriores y teniendo en cuenta que:

El equilibrio de la rebanada (sección del elemento) proporciona las siguientes ecuaciones:

EQUILIBRIO

En base a estas relaciones se llega a las siguientes ecuaciones diferenciales:

PROBLEMA DE DEFORMACION AXIAL

PROBLEMA DE FLEXION

PROBLEMAS

EJEMPLO 1

Una viga horizontal, simplemente apoyada, de longitud L se dobla bajo su propio peso, el cual es w por unidad de longitud. Encuentre la ecuación de su curva elástica.

Formulación matemática:

En la figura se muestra la curva elástica de la viga (línea punteada) relativa a un conjunto de ejes coordenados con origen en 0 y direcciones positivas indicadas; puesto que la viga está simplemente soportada en 0 y en B, cada uno de estos soportes lleva la mitad del peso

de la viga, o sea wL/2.

El momento flector M(x) es la suma algebraica de los momentos de estas fuerzas actuando a un lado del punto P.

Escogiendo el lado derecho de P, actuarían dos fuerzas:

1. La fuerza hacia abajo w (L - x), a una distancia (L -x)/2 de P, produciendo un momento positivo.

2. La fuerza hacia arriba wL/2, a una distancia L-x de P, produciendo un momento negativo.

En este caso el momento flector es:

M(x)=w(L-x)((L-x)/2)-(L-x) wL/2=(wx^2)/2-wLx/2

Con el valor de M(x), la ecuación fundamental es:

EIy^''=(wx^2)/2-wLx/2

Dos condiciones son necesarias para determinar y. Estas son, y = 0 en x = 0, y en x = L, puesto que la viga no tiene deformación en los extremos o apoyos.

SOLUCIÓN:

Integrando dos veces

EIy^''=(wx^2)/2-wLx/2

Se obtiene

EIy^1=(wx^4)/24-(wLx^3)/12+c1x+c2

Puesto que y = 0 cuando x = 0, tenemos c2 = 0. De donde

EIy^1=(wx^4)/24-(wLx^3)/12+c1x

Puesto que y = 0 cuando x = L, c1 = wL^3/24 y tenemos, finalmente:

y=w/24EI(x^4-2Lx^3+L^3 x)

Como la ecuación requerida de la curva elástica. Es de interés práctico usar la solución

y=w/24EI(x^4-2Lx^3+L^3 x)

Para hallar la máxima deflexión. De la simetría o por el cálculo, el máximo ocurre en x = L/2, de donde la flecha máxima será:

ymax=〖5wL〗^4/384EI

EJEMPLO 2

En la viga biapoyada de la figura sometida a una carga uniforme q0 SE PIDE determinar:

la flecha vertical.

SOLUCION

La ecuación diferencial a resolver:

EJEMPLO 3

Una carga concentrada de 300N está apoyada como se indica en la figura. Determinar las ecuaciones de la elástica y la máxima deflexión de la viga.

y

X

SOLUCIÓN:

Escribiendo la ecuación general de momentos para el último tramo BC de la viga aplicando la ecuación diferencial de la elástica e integrando dos veces, se obtienen las siguientes expresiones para la pendiente y las ordenadas:

M= EI.(d^2 y)/(dx^2 )

EI.(d^2 y)/(dx^2 ) =[100x-300<x-2> ] N.m………(a)

EI.dy/dx=[50x^2-150<x-2>^2+C_1 ] N.m^2……….(b)

EIy=[50/3 x^3-50<x-2>^3+C_1 x+C_2 ] N.m^3………..(c)

Para determinar las dos constantes de integración, que son físicamente iguales a la pendiente y a la ordenada en el origen, se aplican las condiciones de frontera o condiciones iniciales siguientes:

50/3 x^3-50<x-2>^3+C_1 x+C_2

1.-En A, para x=0, la ordenada y=0 .Sustituyendo estos valores en la ecuación (c) se obtiene C2 =0. Recordemos que <x-2>^3 no existe para valores de x menores que 2, que haría negativo el paréntesis.

2.- En el otro apoyo, para x=0, la ordenada también es nula. Conociendo C2=0 y sustituyendo en la expresión (c), se obtiene

0=50/3 3^3-50(3-2)^3+C_1 x+(0)

C_1=-133 N.m^2

Determinadas las constantes de integracion sustituimos sus valores en (b)y (c),se pueden

escribir las expresiones de la pendiente y su ordenada elastica en su forma convencional

Para el tramo AB ( 0≤x≤2 )

EI.dy/dx=[50x^2-133]N.m^2

EIy=[50/3 x^3-133x ]N.m^3

Para el tramo BC ( 2≤x≤3 )

EI.dy/dx=[50x^2-150(x-2)^2-133]N.m^2

EIy=[50/3 x^3-50(x-2)^3-133x ] N.m^3

EJEMPLO 4.

Determinar en una viga biapoyada de longitud sometida a un momento constante uniformemente repartido los movimientos y los esfuerzos.

SOLUCION

Las ecuaciones fundamentales teniendo en cuenta el momento distribuido son las siguientes:

...