Aplicación de graficas de funciones

 A) Aplicación de graficas de funciones

La noción de que es el cálculo, es sin duda a lo largo de los ultimas siglos, el cálculo ha sido la parte de las matemáticas más estudiadas.

En matemáticas 3 hemos visto una breve introducción al cálculo, la noción de que es (x,y) que son las rectas que forma una función, y más.

Aunque el cálculo no termina aquí, ya que es un tema que nos da para más, y sin duda es el más usado en las matemáticas modernas, estudiar las gráficas de las funciones nos ayuda a comprender el comportamiento de una función dependiendo de las condiciones que está presente lo cual es interesante, ya que, siendo una función, podemos expresarla como nosotros queramos.

Es así como en física se puede expresar una función de posición-tiempo, y la recta que describe, es nada más y nada menos que la posición del objeto a través del tiempo, es por eso que es muy importante graficar, para tener la noción de que estamos estudiando.

B) Aplicación de la función lineal.

La función lineal, es la más sencilla, es la que tiene un comportamiento como su nombre lo dice, en forma de línea.

Podemos modelizar muchas cosas con la función lineal.

Un ejemplo sería la tarifa de los taxis en monterrey.

Y=8.5 + 13x

Donde y= total por pagar y x= Kilómetros recorridos

Podemos graficar lo que hicimos.

De esta forma tenemos que, para todo x, existe un valor de y que nos permite saber cuánto vamos a pagar a través del recorrido

 [pic 1]

 Hay infinitas formas de aplicar la función lineal, ya que tiene la forma y=ax+b

Donde a indica la pendiente(m) de la gráfica, mientras más grande sea m, más abierto será el ángulo entre la recta y el eje de las x, hasta llegar a un máximo que no excede los 90 grados.

C) Aplicación de la función cuadrática.

De la misma forma que la función lineal, la función cuadrática nos sirve para modelizar entre otras cosas, el tiro parabólico, puede describir el movimiento de un objeto lanzado hacia arriba, es muy usado en física y finanzas.

Siempre que nos den una función de la siguiente forma y=ax2+bx+c podremos graficar la función como una parábola.

Podemos estudiar la gráfica y saber que comportamiento tendrá gracias solo a los coeficientes de la función (a,b,c)

El coeficiente a es el que describe hacia donde abre la gráfica, si es positivo evidentemente abrirá hacia los positivos en y, pero si es negativo hará lo contrario.

B es el coeficiente lineal de la función

El coeficiente C nos indica el punto donde hace intersección la función con el eje y, donde x es igual a 0, entonces la función = C

Ejemplo, estudiemos la siguiente función

Y=2x2+3x-2

De aquí podemos obtener los coeficientes (a,b,c) los cuales son a=2 b=3 c=-2

Ahora tenemos que igualar a 0 la ecuación

0=2x2-3x-4

Usando la formula general. [pic 2]

Usando la fórmula para encontrar x, encontraríamos que

X es aproximadamente 2.35 y –0.85

Como este tipo de funciones forman una parábola, casi siempre tienen 2 resultados.

Podemos estudiar más esta función y obtener el eje de simetría de la función

Usando la formula

[pic 3] 

usando esta fórmula obtendríamos que el eje de simetría eses ¾ haciendo esto podemos evaluar la función en el punto ¾ y obtendríamos valor de 7, lo que nos generaría las coordenadas del vértice.                                                                                

 y=2(¾)2-3(¾)-4    entonces y = -41/8

D) Aplicación de la función polinómicas

función racional

Una función que puede expresarse como el cociente de dos funciones polinomiales

función algebraica

Una función algebraica es aquella que está formada por un número finito de operaciones algebraicas sobre la función identidad y la función constante.

teorema de valor intermedio

Si f es una función polinomial y f(a)≠f(b) para a, entonces f toma todo valor entre f(a) y f(b) en el intervalor [a,b].

Ejemplo

Demuestre que f(x)=x5+2x4−6x3+2x−3 tiene un cero entre 1 y 2.

Al sustituir x con 1 y 2 se obtienen estos valores de la función:

f(1)=1+2−6+2−3=−4

f(2)=32+32−48+4−3=17

Dado que f(1) y f(2) tienen signos contrarios vemos que f(c)=0 para almenos un número real c entre 1 y 2.

Ejemplo

Sea f(x)=x3+x2−4x−4. Halle todos los valores de x tales que f(x) sea positivo, y todos los x tales que f(x) sea negativo y trace la grafica de f.

Factorizemos primero f(x) de la siguiente manera:

f(x)=x3+x2−4x−4=(x3+x2)+(−4x−4)=x2(x+1)−4(x+1)=(x2−4)(x+1)=(x−2)(x+2)(x+1)

De aquí podemos ver que los cero de f(x) (intersecciones con el eje x) son -2, -1 y 2. Notar que al sustituir estos valores en la función la función se hace cero. Los puntos correspondientes de la gráfica dividen el eje x en cuatro partes y consideramos los intervalos abiertos

(−∞,−2),(−2,−1),(−1,2),(2,∞)

Este tipo de funciones se usa mucho en ingenierías para modelizara trabajos donde implican valores que cambian a travez de el eje x

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