Aprender Por Medio De La Resolucion De Problemas

COMPARAR, IGUALAR, COMUNICAR

EN PREESCOLAR

ANÁLISIS

DE SITUACIONES

DIDÁCTICAS

David Block*

INTRODUCCIÓN: APRENDER MATEMÁTICAS

AL RESOLVER PROBLEMAS

Mariana tiene ocho años. Está iniciando su tercer grado de primaria. Un día me dijo que me quería mostrar que ya sabía hacer divisiones. Planteó la división 32:2 e hizo algo como esto (dibujo 1):

No la corregí pero le dije: “Vamos a repartir 32 tazos (pequeños discos de plásticos con una imagen grabada, que salen en las bolsitas de frituras) entre un perrito y un osito. Tratemos de que les toque lo mismo”. Separamos los 32 tazos y representamos los dos animales con un par de objetos. Le pedí que, antes de hacer el reparto, tratara de averiguar cuántos le tocaban a cada uno. Pensó un momento, se tocó los dedos y contestó: 16. Cuando le pedí que me contara

cómo lo había hecho, tomó el lápiz e hizo lo siguiente (dibujo 2):

Me explico: “Diez, veinte, treinta, son tres dieses, uno para cada quien, y del otro, cinco para cada quien, van 15. Más uno de los dos que quedan, 16”. Agregó que se podía hacer de otra manera y escribió lo siguiente (dibujo 3):

Conferencia presentada en el III Encuentro Estatal de Educación Preescolar. La Paz, Baja California, noviembre de 1994.

* Profesor investigador del Departamento de Investigaciones Educativas (DIE) del Centro de Investigación y Estudios Avanzados (Cinvestav) del Instituto Politécnico Nacional (IPN).

Le pregunté que si la división que hizo primero era otra manera de encontrar el resultado. Dijo que no. Este ejemplo es representativo de uno de los principales tropiezos de la enseñanza de las matemáticas: se ha privilegiado el aspecto sintáctico del lenguaje formal en detrimento del aspecto semántico, de la significación.

Algunas veces, los alumnos resuelven problemas matemáticos recurriendo a procedimientos no formales como el anterior, pero pronto aprenden que es incorrecto, que debieron haber puesto “la operación”. En el mejor de los casos, siguen utilizando tales recursos a escondidas y, en el peor, los dejan de hacer y, si aún no dominan otro recurso, se quedan bloqueados o eligen una operación casi al azar (Block y Dávila, 1993). Los mismos problemas que se escogen para resolver en clase suelen estar “mandados a hacer” para que se aplique una operación específica. Frecuentemente, la pregunta del alumno es ¿con qué operación o fórmula se resolverá este problema? La búsqueda deja de ser una solución creativa que adapta los elementos con que ya se cuenta.

Los estudios en didáctica de las matemáticas con orientación constructivista plantean una relación esencialmente distinta: los conocimientos matemáticos son herramientas que se crean y evolucionan frente a la necesidad de resolver ciertos problemas. Los problemas no son sólo el lugar en el que se aplican los conocimientos, sino “la fuente misma de los conocimientos” (Vergnaud, 1981).

Los alumnos aprenden matemáticas no sólo para resolver problemas, sino al resolverlos. Se cuestiona el hecho de separar el momento en que los niños aprenden las técnicas del momento en que resuelven problemas con ellas (Brousseau, 1994). El significado que para los alumnos tienen los conocimientos matemáticos está dado, principalmente, por los problemas que pueden resolver con su ayuda, así como por los errores y los caminos largos, poco eficientes, que estos conocimientos evitan. Este enfoque:

 Reconoce que los alumnos pueden abordar un problema que implica determinado conocimiento antes de recibir una enseñanza específica sobre el mismo.

 Reconoce que los procedimientos no formales, poco sistemáticos, incluso a veces erróneos, que los alumnos ponen en juego al enfrentar por sí mismos un problema nuevo para ellos son expresión de una verdadera actividad matemática y forman parte del proceso que les permitirá comprender el sentido de conocimientos más formales.

Ante el objetivo de propiciar el aprendizaje de ciertos aspectos de una noción matemática, un problema didáctico que se plantea es ¿cuáles son las situaciones en que esa noción constituye una herramienta de solución?, ¿qué problema plantean al alumno, considerando su nivel de desarrollo cognitivo y sus conocimientos previos?, ¿qué procedimientos iniciales puede poner en marcha y cómo propiciar que éstos evolucionen? A partir de estas preguntas, revisaremos algunas situaciones didácticas relativas al número y sus relaciones.

SITUACIONES DIDÁCTICAS PARA EL APRENDIZAJE

DE CIERTOS ASPECTOS DE LA NOCIÓN DE NÚMERO

¿Qué problemas se resuelven con ayuda de los números y son adecuados para los alumnos del nivel en que vamos a trabajar? Adecuados significa que los educandos comprenden claramente lo que plantea el problema y disponen de recursos para aproximarse a la solución, pero no para encontrarla de manera sistemática, es decir, el problema les presenta una dificultad, un reto.

El análisis de las situaciones o de los contextos en que el número es funcional lleva a distinguir distintos usos, que dan lugar a diferentes significados: usamos los números para expresar cantidades y operar con ellas, para ordenar elementos (las personas en una fila, los ganadores en una competencia, las páginas de un libro) y para identificar elementos (los números de placas de los autos, de los teléfonos, de los canales de televisión).

Analizaremos algunos problemas de la primera familia: el número para expresar cantidades. Pueden distinguirse las siguientes situaciones: las que llevan a comparar e igualar cantidades, a comunicar la cantidad de elementos de una colección, y aquéllas en las que es necesario prever, anticipar el resultado de transformaciones aplicadas a colecciones, como agregar o quitar elementos.

SITUACIONES DE COMPARACIÓN

En muchas situaciones espontáneas o planeadas ex profeso se compara la cantidad de elementos de dos o más colecciones para saber cuál tiene más, por ejemplo, quién ganó más puntos en un juego, qué hay más (niños o niñas) o determinar si sobran o faltan elementos (por ejemplo, saber si alcanzan los vasos para los invitados, los lápices para los miembros de un equipo, etcétera).

Algunas variables didácticas permiten generar y complejizar situaciones de comparación: colecciones formadas con objetos o dibujadas, colecciones físicamente cerca o lejos una de la otra, cantidades de objetos relativamente grandes o pequeñas, objetos espaciados entre sí o no (unos muy apretados, otros muy separados). Estas variables introducen distintas dificultades e influyen en los procedimientos que los niños pondrán en juego.

Si la diferencia entre las cantidades es relativamente grande (digamos seis y diez) o si las cantidades son muy pequeñas (dos y tres), los niños pueden determinar cuál es mayor por percepción visual. Resultaría artificial pedirles que establezcan correspondencias uno a uno entre los objetos. En cambio, si las cantidades son relativamente grandes y próximas entre sí (seis y siete), el recurso de la correspondencia se dará naturalmente en muchos niños y será adoptado por otros. La forma de establecer la correspondencia variará: juntar los objetos por pares o, si las colecciones están dibujadas, tachar alternadamente un objeto de cada colección, trazar rayas, hacer corresponder los objetos de dos en dos, etc. Un problema más difícil se tiene cuando las colecciones no se pueden acercar, por ejemplo, si se dibujan cada una en un lado distinto de una hoja o si están alejadas y no se permite acercarlas. Los niños tendrán que acudir a una tercera colección que jugará el papel de intermediaria. En la medida en que los niños funcionalicen el conteo, tenderán a sustituir el recurso de la correspondencia uno a uno por éste (dibujo 4):

En la actividad anterior, los niños deben igualar varias colecciones para que los dibujos queden "iguales". Para ello, pueden recurrir a la correspondencia uno a uno o al conteo.

En este ejemplo (dibujo 5) la tarea puede ir más allá de la comparación de colecciones: un trabajo inicial de análisis de la información, de los datos que el dibujo proporciona, de los que se pueden inferir y los que no. Se puede empezar con comentarios libres acerca de lo que expresa el dibujo, de lo que sucede en él. Después se puede preguntar: ¿cuántos años va a cumplir la niña?, ¿alcanzarán las sillas para los amigos? Luego se puede pedir a los niños que planteen preguntas que se puedan responder con la información de dibujo.

SITUACIONES DE IGUALACIÓN

Se trata de construir una colección con la misma cantidad de elementos que otra. Muchas situaciones pueden dar lugar a esta actividad: cuando se pone la mesa, por ejemplo, se iguala la cantidad de cubiertos y platos a la de lugares o personas que van a comer. Cuando se reparte material (una unidad para cada quien), se iguala la cantidad de unidades que se reparten entre las personas indicadas, etc. Quizá la variable didáctica más importante es la presencia o ausencia de la colección que se va igualar en el momento de construir la otra colección.

Por ejemplo, supongamos que se van a repartir lápices a los niños, uno a cada uno. Los niños están sentados en grupos de tres a ocho. Si la maestra entrega a un niño

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