BASE Y SUB-BASE DE UNA TOPOLOGIA

BASE DE UNA TOPOLOGÍA

Definir una topología en un espacio X significa especificar un sistema de conjuntos abiertos en X. Sin embargo, suele ser conveniente especificar algún sistema de subconjuntos que determine de manera unívoca todos los conjuntos abiertos, en lugar de enumerarlos a todos ellos.

Una familia B de conjuntos de un espacio topológico ( X, I ) es una base de la topología I, si y solo si, todo conjunto abierto en X puede representarse como la unión de conjuntos de B. A diferencia de lo que ocurre con la expresión de un vector mediante la combinación lineal de los elementos de una de sus bases, la expresión de un conjunto abierto a través de la unión de elementos de una base de un espacio topológico puede no ser única.

Ejemplos

 El conjunto de todos los intervalos abiertos constituye una base para la topología usual de ℜ, ya que todo conjunto abierto de ℜ puede ser interpretado como una unión de intervalos abiertos.

 Sea X un conjunto completamente ordenado. La topología generada por la base formada por los conjuntos del tipo Sa={x / x> a} es llamada topología del orden a la derecha sobre X. (Una topología del orden a la izquierda sería definida de manera similar utilizando los conjuntos Pa= {x/ x< a}). De esta manera los conjuntos abiertos de X serán aquellos conjuntos que puedan expresarse como uniones de conjuntos del tipo Sa, que son en realidad conjuntos del tipo Sa.

 Sea X el conjunto de todos los números reales. Elegimos como base de una topología T la familia de todos los conjuntos de la forma [a,b), donde a,b∈ X . Esta topología es llamada topología del intervalo semiabierto a la derecha.

Entonces los conjuntos de la forma (− ∞, a), [a,b) o [b,∞) son tanto abiertos como cerrados. Conjuntos de la forma (a,b) o (a,∞) son abiertos en X puesto que (a,b) =∪{[α ,b): a <α < b}. Ellos no son cerrados porque los conjuntos de la forma (− ∞,a], [a,b] y {p} no son abiertos al no poder expresarse como unión de los elementos de la base.

Está claro que podemos definir una topología I especificando una base B. De esta manera, la topología I será solamente el sistema que puede ser representado como uniones de conjuntos de B. Sería práctico conocer los requisitos que deben cumplir los elementos de una familia de conjuntos B para que el sistema formado por todas las uniones posibles de B conformen una base de la topología I .

Propiedad

Una familia B de conjuntos pertenecientes a X es base de la topología I , si y solo si:

1. B ⊂ I

2. para cada punto x∈ X y cada entorno U de x, existe un miembro V ∈B tal que

x∈V ⊂U .

Esta propiedad induce a preguntarnos si cualquier colección de subconjuntos de X constituye una base de alguna topología. La respuesta es no y la justificación de la misma es la siguiente propiedad.

Propiedad

Una familia B de subconjuntos de X es base de alguna topología de X si y solo si:

1. X= ∪Ba, sabiendo que Ba ∈ B

2. para cada punto x∈ X y cada par de conjuntos U,V ∈B, donde x∈U ∩V , existe un conjunto W ∈B tal que x∈W ⊂U ∩V .

SUB-BASE DE UNA TOPOLOGÍA

Una familia δ de conjuntos de X es una sub-base de una topología I, si y solo si, la familia de todas las intersecciones finitas de miembros de δ es base de I .

Ejemplos

 Una sub-base natural para la topología usual de ℜ es la familia de los intervalos semifinitos del tipo (−∞,b) = {x : x < b} y (a,∞) = {x : a < x}, ya que todo intervalo abierto (a,b) = {x : a < x < b} puede ser representado por la intersección finita de estos tipos de conjuntos.

 Sea X un conjunto completamente ordenado. Definimos

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