Cálculo 2 “ecuación diferencial”

1. Define “ecuación diferencial”

Una ecuación diferencial es una ecuación que involucra derivadas (o diferenciales) de una función desconocida de una o más variables. Si la función desconocida depende sólo de una variable, la ecuación se llama una ecuación diferencial ordinaria. Sin embargo, si la función desconocida depende de más de una variable la ecuación se llama una ecuación diferencial parcial.

2. ¿Cuál es la característica principal de una ecuación diferencial homogénea de primer orden?

Una ecuación diferencial de primer orden tiene asociada la ecuación homogénea:

[pic 1]

Su principal característica es ser una ecuación de variables separables cuya solución es de la forma:

[pic 2]

3. ¿Qué implica la solución general de una ecuación diferencial?

Es una solución conteniendo constantes arbitrarias y cuando se especifica el valor de estas constantes se dice que es una solución particular. Además, que dependiendo del n orden de la ecuación diferencial, la solución vendrá dependiente de n constantes indeterminadas.

4. ¿Qué son condiciones de entorno en las ecuaciones diferenciales?

Son los valores restringidos que toma la función para determinados valores particulares de la variable independiente. Si se encuentra una solución de la ecuación diferencial que satisfaga todas las condiciones de contorno, entonces esa es la única solución a esa ecuación, presentando así, el teorema de la singularidad.

5. ¿Cuántas condiciones de entorno debe tener una ecuación diferencial del segundo grado?

Con objeto de tener una solución completa, debe haber una condición de contorno para cada orden de la ecuación.

6. ¿Qué pasos se deben realizar para resolver una ecuación diferencial homogénea?

Primero determinamos la existencia de homogeneidad:

a). Escribimos la ED en la forma:

      o      [pic 3][pic 4]

b). Multiplicamos la ED resultante por un factor adecuado que nos la
convierta en la forma:

      o     [pic 5][pic 6]

Después, seleccionamos la sustitución adecuada:

     o     [pic 7][pic 8]

Posteriormente, se desarrolla la nueva ED (ahora separable), que tiene la forma:

      o      [pic 9][pic 10]

Y finalmente, integramos e inmediatamente después regresamos a las variables originales.

7. ¿Qué aplicaciones tienen las ecuaciones diferenciales en la industria?

En la industria mediante gran diversidad de áreas, las ecuaciones diferenciales presentan aplicaciones en:

• Las leyes del movimiento de Newton.
• En circuitos electrónicos a través de La ley de Kirchhoff.
• El flujo de calor en estado estacionario.
• Problemas combinados de crecimiento y decrecimiento.
• El cable colgante.
• La deflexión de vigas.
• Movimiento vibratorio de sistemas mecánicos: El resorte vibrante y con amortiguamiento, el resorte con fuerzas externas y la resonancia mecánica.

8. Escribe una ecuación diferencial y explica el procedimiento para resolverla.

Sea la ecuación diferencial:

[pic 11]

Procedemos a desarrollar:

[pic 12]

[pic 13]

[pic 14]

Donde la anterior expresión representa a una ecuación diferencial homogénea de grado dos.

Se realiza la siguiente sustitución, donde:

[pic 15]

[pic 16]

Tal que:

[pic 17]

...